Вывод напряженности и электроемкости Вывести Е и С для плоского конденсатора, когда d << S^1/2.

Легко выводится из теоремы Остроградского-Гаусса: поток вектора индукции через замкнутую поверхность пропорционален сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью. Коэффициент пропорциональности в системе СИ равен 1/εₒ, где εₒ - абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума.
Фишка в том, чтоб правильно выбрать поверхность.
Возьмём плоский конденсатор и возьмём поверхность в виде цилиндра или призмы, у которого основания находятся по разные стороны одной из обкладок, а стороны перпендикулярны обкладке. Тогда поток через боковую поверхность равен нулю, потому что вектор электрической индукции параллелен стороне (поле внутри конденсатора однородно, и линии его напряжённости перпендикулярны обкладкам). Поток через наружное основание цилиндра равен нулю, потому что вне конденсатора электрическое поле отсутствует. Поэтому вклад в поток вектора индукции даёт только то основание цилиндра, которое находится внутри конденсатора, между обкладками.
Ну и ничто не мешает нам взять площадь этого основания равной площади пластины - ведь для вывода предполагается, что электрическое поле однородно, то есть его искривлением на краю мы пренебрегаем. И тогда "заряд, охватываемый поверхностью" - это весь заряд конденсатора.
Ну и поскольку поток, по определению, есть произведение индукции на площадь (для однородного поля!), то мы мы сразу получим, что индукция электростатического поля внутри конденсатора равна Q/Sεₒ, а напряжённость поля равна Q/Sεεₒ, где ε - относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика, S - площадь обкладки.
С другой стороны, мы ж знаем, что в однородном поле разность потенциалов между двумя точками равна произведению напряжённость на расстояние между этими точками. Стало быть, разность потенциалов между пластинами равна E*d (d - расстояние между пластинами). Подставив сюда выражение для Е, окончательно получим U = d*Q/Sεεₒ.
По сути это и есть связь между зарядом конденсатора и его ёмкостью. Коль скоро ёмкость, по определению, равна Q/U, то окончательно отсюда и получаем C = εεₒS/d.