Как научиться строить математические доказательства?

попрактиковаться нужно. Начать следует с простого, но доказательство вести очень кропотливо (от аксиом, а не типа "в школе говорили про теорему синусов, я не знаю как это работает, но в доказательство впихну" :)) ). Проблема доказательств у большинства идёт со школы - в школе не требует соблюдать строгость доказательств, а иногда даже поощряют интуицию (у меня такое было... учительница хорошая, но тут явно неправа была), из-за чего потом очень сложно построить хоть одно доказательство правильно.

Вон Савватеев как-то на лекции рассказывал, как у них на олимпиаде баллы снимали с тех, кто в решении забыл доказать, что Пи больше 3 :)) Вот так то.

Насчёт приёмов доказательств, то тут под каждую задачу свои. Есть индуктивные доказательства, есть от противного... иногда просто достаточно какую нить систему составить и решить... иногда нужно исследовать функцию. В общем если бы был универсальный способ, то нерешённых математических проблем, висящих в таком состоянии по 1000 лет, не было бы :))

Нобелевскую премию математикам не дают, а почему?
да потому, что математика самый ошибочный инструмент в руках человека!

вся нужная математика, используемая людьми в быту = арифметика и элементарная геометрия
вся остальная математика ненужная либо заведомо ошибочная абстракция
точнее - обман, запрет на доступ к знаниям

так, расширенная арифметика = алгебра в реальной жизни уже не применяется
если в арифметике 2х2=5 обман увидит каждый и возмутится, то в случае с алгеброй сложнее
как пример: ax^2+bx+c=0
не всякий поймет, что при х=0 ЛЮБОЕ ЧИСЛО РАВНО НУЛЮ
РАЗВЕ МОЖЕТ, например 5=0?
о масштабах обмана в высшей математике можно лишь догадываться

так что, проблематично….

Почитайте книжки Дьердя Пойа (венгерский математик): "Как решать задачу", "Математическое открытие" - не совсем то, о чем вы спрашиваете, но может пригодиться.

а что именно хочешь доказывать?

Смотри Савватеева, Numberphile на youtube...