есть ли спин у ядра атома?

Есть. В зависимости от ядра может принимать целочисленные или полуцелочисленные значения.
Про ЯМР-томографию слыхали?
А про спин атомных ядер подробно и доступно можно почитать здесь:
http://nuclphys.sinp.msu.ru/an/an102.htm

....в середине ядра стоит ведро и попробуй доказать что его там нет, всё это теоретический, пока не доказано обратное бред :)

Спин по терминологии официальной науки это вращательная компонента частицы, которая может принимать целые или полуцелые значения. Иными словами вращение по кругу или полу вращение. Эфирон вращается не по кругу, а по сложной петле образной кривой. Представь себе точку которая делает 180 градусов в одной плоскости потом точка переходит в другую плоскость и делает другие 180 градусов... в какой то момент времени спин будет равен 1, а в какой то момент времени нет. Момент импульса частицы характеризует количество вращательного движения, то есть спин характеризует тот факт что частицы вращаются вокруг своей оси. Но сама ось вращения не палка, а та сложная петлеобразная кривая в геометрии Мебиуса. Поэтому спин и называют "количеством движения".

только живот.

Если в ядре по четному количеству нейтронов и протонов, то спин ядра равен нулю. Во всех остальных случаях он определяется спинами неспаренных нуклонов.

Смотря какое ядро.
Например, у ядра водорода есть спин, а у ядра гелия нет спина.
Если в ядре или нечетное количество протонов или нечетное количество нейтронов, то спин всегда есть.