Почему работа внешних сил равна сумме изменений кинетической и потенциальной энергий?

Если говорить о причинно-следственной связи, то тут другой порядок.
Это было изначально введено для динамики одной частицы под действием некоторых сил.
1) Есть определение работы некоторой силы F при перемещении тела на dr (F, dr - векторы):
dA = F dr (скалярно).
2) Согласно второму закону Ньютона:
F = m dv/dt
Тогда работу сил F можно переписать в виде:
dA = F dr = m (dv/dt) dr = m dv (dr/dt) = m v dv = d(m v^2 / 2)
То есть работа идет на изменение величины T = m v^2 / 2 - кинетической энергии.
3) Пусть внешние силы как-то зависят от координат. И вообще говоря они являются вектором (то есть на самом деле это три величины).
Можно поставить следующий вопрос: можно ли придумать такую функцию U, чтобы величина E = T + U не менялась при движении частицы под действием сил F. То есть задание U - это некоторый способ описания F.
4) Пусть E - не изменяется. Тогда:
dE = 0
d(T + U) = 0
dT + dU = 0
dT = - dU = dA
То есть сила, стремясь совершить работу (разогнать тело в направлении силы F), убавляет величину U. Или расходует величину U.
dU = gradU dr
dU = - dA = - F dr
Тогда: F = - gradU
То есть мы явно видим, что силы стремятся толкать тело туда, где U меньше (против градиента), то есть избавиться от U.
Так же мы явно видим, каким образом с помощью U задается сила. Не всегда силу можно описать функцией U, но часто это можно сделать.
Так вот ответ на ваш вопрос: если все внешние силы являются консервативными (то есть могут быть представлены как F = - gradU), то можно ввести полную энергию тела в поле этих сил и говорить о сохраняющейся энергии.

Потому что имеет место закон сохранения (полной) энергии.