Не могу разобраться с записью теоремы об изменении кинетической энергии.

А какое условие задачи?
Равенство скоростей получится, когда пружина достигнет максимального растяжения. Это произойдет, когда сила упругости станет равной F.
И что значит "\frac{k{x}^{2}}{2}"? Это потенц. энергия пружины (k*x²/2)?

Первая запись верная. А вторая... Вы берете кажду подсистему отдельно. И, рассматривая подсистему, неверно уычитываете внешние силы. Учесть их верно без интегралов или дифференциалов не получится. Максимум, вы могли бы приращения записать. Можно стартануть с законов Ньютона:
m x1'' = F - dU/dx1
m x2'' = - dU/dx2
m - массы брусков
x1, x2 - координаты брусков
U - потенциальная энергия пружинки
Теперь мы можем умножить первое уравнение на x1', второе на x2':
m x1' x1'' = F x1' - (dU/dx1) x1'
m x2' x2'' = - (dU/dx2) x2'
Левые части можно свернуть в производные от кин. энергий:
[(m / 2) (x1')^2]' = F x1' - (dU/dx1) x1'
[(m / 2) (x1')^2]' = - (dU/dx2) x2'
Правые части тут никак в общем виде не свернуть, они так и останутся в виде работы сил взаимодействия и работы внешней силы F.
Если эти уравнения сложить, тогда все красиво свернется:
[(m / 2) (x1')^2 + (m / 2) (x2')^2]' = F x1' - [(dU/dx1) x1' + (dU/dx2) x2']
или:
[(m / 2) (x1')^2 + (m / 2) (x2')^2]' = F x1' - U'
Если теперь умножить уравнение на dt, перейдем к приращениям:
d[(m / 2) (x1')^2 + (m / 2) (x2')^2] + dU = F dx1
или:
d[(m / 2) (x1')^2 + (m / 2) (x2')^2 + U] = F dx1
И теперь, если F - постоянная (как у вас):
d[(m / 2) (x1')^2 + (m / 2) (x2')^2 + U - F x1] = 0
Смогли все записать под одним дифференциалом, тогда внутри находится константа:
(m / 2) (x1')^2 + (m / 2) (x2')^2 + U - F x1 = Const
В начальный момент времени:
x1' = x2' = 0
x1 = 0, x2 = L
Поэтому знаем значение константы:
(m / 2) (x1')^2 + (m / 2) (x2')^2 + U(x1, x2) - F x1 = U(0, L)