Какой энергией должна обладать частица для преодоления потенциального барьера? Кинетической или потенциальной?

Пробить что-либо можно только кинетической энергией

Полной энергией. У барьера нет энергии - это абстрактная "фигура" на графике энергии частицы.

Если подробно, то у частицы есть энергия (полная), которая в рассматриваемом случае (частица в потенциальном внешнем поле) складывается из кинетической (КЭ) и потенциальной (ПЭ) энергий (собственную не учитываем - она в таких процессах не играет роли) и которая постоянна. Потенциальная энергия частицы зависит от её положения в пространстве (координаты). Область пространства, где ПЭ мала (а в соседних областях резко возрастает), называется потенциальной ямой. Резкое возрастание ПЭ на границе области-ямы называется потенциальным барьером и имеет характерный вид уступа-барьера на графике зависимости ПЭ от координаты. Собственно высота потенциального барьера (разница между ПЭ частицы в яме и ПЭ частицы за пределами ямы) иногда называется "энергией барьера".

Когда частица с большой полной энергией входит в область барьера, то часть её КЭ преобразуется в ПЭ, т. е. в этой области пр-ва у неё становится малая скорость, но большая ПЭ. Очевидно, что если КЭ частицы меньше, чем высота барьера, то попасть в область барьера она не может - КЭ не хватит. Т. о. частица оказывается запертой в потенциальной яме. Классическая - до тех пор, пока каким-то иным способом не будет увеличена её КЭ или не снизится уровень барьера. Квантовая частица, помимо всего прочего, может туннелировать "через барьер" - переходить в соседнюю область с низкой ПЭ.

у барьера потенциальная, у частицы должна быть кинетическая чтобы пробить

Лучше всего никакой. ..в пределе: нет энергии, нет и частицы, а для "ничего" никаких барьеров не существует )))

Потенциальная это локализованная (изолированная) энергия, а кинетическая это перемещение (дислокационная) энергия и на неё действует закон относительности.