что означают мнимые величины в квантовой механике?

Мнимые числа - это обычные пары или даже тройки чисел. Они позволяют вести вычисления для плоскости или пространства теми же методами, что и для линии.

Поэтому, если мы не фанаты математики, вполне можно обойтись в расчётах и без них. Только писанины будет (?) больше.

)

Примерно то же, что и в электродинамике (и электротехнике). Удобно, однако. А без комплексных сложно и запутанно.

Для простых систем вы можете записывать уравнение Шредингера в действительном виде.
Но это извращение. Квантовая механика сидит на линале, функане и теории симметрий. Комплексный анализ там - самый естественный аппарат.
На каком этапе комплексные числа там стали нужны?
Когда из разрозненных фактов и кустарных методов решили сделать формальную и полноценную теорию.
Возьмите вон наблюдаемые величины. Спин, например. Он действительный. Его оператор эрмитов. Но для работы с ним уже нужны комплексные числа (см. матрицы Паули).
Без комплексных чисел вы не получите закономерную теорию. Это будет громоздкое, безумное нечто.
От мнимой части волновой функции не отказываются, с чего вы это взяли? Она так же дает вклад в наблюдаемые величины наровне с действительной частью. Что эти части значат по отдельности вряд ли кто-то знает.

Мнимые компоненты ур-ния Шредингера не означают ничего — только их квадрат имеет смысл. Ур-ния, аналогичные Шредингеру, сейчас используются вовсю в радиофизике, а тогда оно было в новинку. Просто он интуитивно нашёл математическое решение задачи, имеющей строгое решение, и не стал заморачиваться его поиском. Отсюда и сложности трактовки этого решения, имеющего смысл некоторого фокуса — так надо, и всё!

Комплексные числа удобны, например, для описания интеференции обычным сложением чисел.

Попробуем на пальцах, вот есть потенциальная яма, в классической механике есть решения когда уровни энергии выше или ниже потенциальной ямы, и поэтому частица или сидит в границах ямы, или ее энергия выше и она какое-то время вне ее. Ну как в квадратном уравнении, если дискриминант меньше нуля нет решения. Так как вот в комплексных числах есть решение квадратного уравнения, так и в случае уравнения Шредингера для пси функции есть решения, когда вероятность нахождения низкоэнергетической частицы вне ямы ненулевая, хотя и комплексная. Но именно аргумент квадрата комплексной пси функции имеет смысл вероятности, и это действительное число. Собственно объяснение туннельного эффекта и стало первым заслуженным результатом для теоретической модели уравнения Шредингера.
Для частицы с энергией ниже границы ямы пси-функция вне ямы хоть и мнимая, но не нулевая, а значит есть вероятность, что она преодолеет потенциальный барьер.

Собственно объяснения автоэлектронной эмиссии, и радиоактивности и объясняются мнимой пси-функцией
(не пинать, это грубо, на пальцах, научно-популярно)

Было и Гейзенберговское представление https://ru.wikipedia.org/wiki/Представление_Гейзенберга
оно эквивалентно, но используется реже и там тоже все решения в поле комплексных чисел.