Вопрос о бесконечности.

если начал новый путь - то закончил старый, т. е. старый уже не бесконечный...

Да, и где-то в бесконечной Вселенной есть трехголовый Змей Горыныч и даже Кощей Бессмертный...

"Через некоторое время случайным образом он повторяет свой бесконечный путь" -- это некоторое время "бесконечно большое" (то есть через промежуток времени бесконечно большой продолжительности), то есть "никогда". Промежуток времени бесконечно большой продолжительности -- синоним "никогда". Мыслить о том, чего никогда не будет, можно, конечно, но бесполезно.

если это происходит в замкнутой системе то думаю что да..

Это кванты излучения безмассовые фотоны. Но они не зациклятся, а рассеются в пространстве после того, как излучением Хокинга испарятся чёрные дыры. Сначала один квант на один куб метр, потом один квант на 1 куб. км, потом один квант на объём в одну нашу Вселенную, которая исчезла к тому времени, потом один квант на объём ста наших бывших Вселенных, и так в бесконечность в абсолютно чёрном и пустом пространстве.
Есть ли другие вселенные за пределами нашей Вселенной? Если бы они были, тогда, в силу вечности и бесконечности, от них также остались бы кванты и небо было бы белым, а такого нет. Значит, наша физическая Вселенная одна, она уникальна и существует один только раз.
Другой аргумент-свет, проходя мимо чёрных дыр, отклоняются ими, образуя гравитационные линзы. Внешних приливных сил от других вселенных, как и света от них, не обнаружено. Поэтому мы одиноки!
Есть ли другие разумные существа во Вселенной, кроме нас? Всегда кто-то будет первым. И эта честь выпала нам, так как Солнце звезда второго поколения. Мы-первые! А в силу парадокса физика Ферми и исследований академика Спирина и последние.
На фото вид Вселенной снаружи, с границы, до которой успели долететь кванты света от момента Большого взрыва.

Как можно хаотично случайным образом повторить бесконечный путь )? Это три не связанных между собой явления. Прям как Кличко говорил: " Не все могут посмотреть в завтрашний день, потому что сегодня не увидеть вчера" ))...

Если случайность повторяется более, чем два раза - то это уже закономерность.
А для цикла - достаточно уже второго повторения. Так что это будет уже цикл.
Но любой цикл можно прервать или остановить принудительно, или может он завершиться случайно, по причине дальнейшего отсутствия условий цикла и так далее.