Докажите, что магнитное поле имеет вихревой характер

Векторные поля, обладающие непрерывными силовыми линиями, называются вихревыми полями. Магнитное поле является вихревым, так как обладает непрерывностью линий индукции магнитного поля при отсутствии начала и конца, то есть, они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность. На порождение полей не влияет характер контуров с током.

Смотрим уравнения Максвелла, находим там div B = 0 - и убеждаемся в этом.
Т. е., поток магнитной индукции через любую сколь угодно малую (а уж тем более и большую) замкнутую поверхность равен нулю, что ровным счетом и требуется для того, чтобы считать это поле вихревым. Если было бы обратное, то это означало бы, что в природе есть источники (или, наоборот, стоки) магнитного заряда, на которых бы линии магнитной индукции заканчивались. В природе они так и не найдены (доказать невозможность их существования я не могу, и даже не знаю, можно ли это в принципе доказать), поэтому все линии замыкаются сами на себе, отчего их и назвали вихревым полем.
В некоторых случаях физикам удавалось создать "видимость" магнитных зарядов, например, в 2009 году им удалось зафиксировать магнитный ток из квазичастиц, выполняющих роль магнитных монополей, в спиновом льду из титаната диспрозия.

частицы тока движутся со скорость света по проводнику

а также вылетают с другим знаком наружу от энергии в проводнике и держится у проводника, создается поле тока (так называемое магнитное поле)