Происхождение синусов и косинусов. Как их вывели ??

Есть у вас прямоугольный треугольник.
Знаете вы все его стороны. Различные отношения сторон дадут вам синусы и косинусы, тангенсы.
А вы потом возьмите, поверните треугольник. Ничего не изменится в плане этих отношений.
А потом увеличьте или уменьшите весь треугольник, отношения так же не поменяются.
От сюда очевидно, что все синусы и косинусы - не функции треугольника, а функции только угла. То есть не важно, в каком треугольнике вы бы их нашли. Они полностью определяются только углом.
А тогда от оперировании с углами (что часто не удобно) вы можете перейти к оперированию с синусами, косинусами. Поэтому изначально они были введены и закрепились.
Далее они рассматривались как функции любых углов (не только углов в прямоугольном треугольнике). Для такого расширения была введена числовая окружность, и были даны координатные определения для синусов и косинусов через нее (для углов от 0 до 90 они все так же совпадали с тем, чем они были до введения через окружность).
Они стали применяться не только для углов, а везде, как элементарные функции.
Когда было получено соотношение Эйлера, появилось определение синусов и косинусов через комплексные числа.
Гиперболические функции были введены по аналогии с комплексным представлением синусов и косинусов. Их так же можно рассматривать как тригонометрию от мнимых углов.

Лентяям, которые ленятся читать, ничего не объяснить. По определению. У них мозги из опилок.

Синусы в реальной физике ВЕЗДЕ, куда ни плюнь. Вот тебе реальное, живое проявление (применение) синусаов:

Копался в огороде. Нашёл блестящий конус, вроде золотой. Тут же направился к ювелиру, но по дороге передумал: "Может, не золото? Не быть же посмешищем..." Вернулся домой, спросил у брата-6-иклассника, как быть. "Это проще простого. Взвесь, найди объём. Дели. И сравнивай плотности. Помог бы, но мы ещё такую вещь не проходили. Кажется, конус называется?" Пришлось открыть учебник. Да нужно знать диаметр и высоту. Измерил диаметр, а вот высоту, заразу, никак не измерить - штанген не лезет. Опять к брату. "Измерь "косой" размер (имел в виду образующую), а потом по Пифагору найди высоту... Постой, возиться с Пифагором нудно. У тебя пылятся где-то таблицы Брадиса. Измерь угол при основании - благо папа притащил с завода угломер - умножь на его синус - и готово"... Короче, находка оказалась золотой. Продал за солидную сумму. Только не забудь отблагодарить брата.

ну прочтите что такое тригонометрический круг и все будет понятно. А зачем это надо, так геометрия- землемерие. Может показаться что применимо только к прямоугольным треугольникам, ан нет любой треугольник в принципе можно представить как пару прямоугольных по площади сложенных или вычтенных. А уж дальше сами удивитесь как эти синусы везде будут возникать. У этой функции даже название выдающееся, гармоническая. Чувствуете корень, гармония.

Как вывели... генная инженерия!

Это отношение дает синус

синус и косинус угла удобно воспринимать как проекции единичного вектора на оси Y и X.