По части единичной окружности и синусов, косинусов

Синус, как и косинус, как и любая другая тригонометрическая функция, является циклической функцией. Это значит что её значения циклически повторяются через определённые промежутки.

У синуса один цикл (правильно называть периодом, если не ошибаюсь) равен 2П (360 градусов) - то есть ровно 1 оборот. Что логично, ведь сделав один оборот на единичной окружности мы попадём ровно в ту же точку. С косинусом то же самое... А вот у тангенса, если не ошибаюсь, период уже 180 градусов, или просто П.

Так ты проведи нужный угол в единичной окружности. И всё будет видно!
По оси X - косинус этого угла, по оси Y - синус.

Схватился поп за яйца, когда пасха прошла...

Для начала давайте определимся, что "Синус +-1 может равняться +- П/2 ..." - это неверно!
Правильно было бы сказать: "синус равняется +-1 при аргументе +- П/2 ...".
...
Теперь по существу. Одно и то же значение sin x (или cos x) может быть у бесконечного количества значений х. Sin = 1, к примеру, будет при значениях х = П/2, 5П/2, 9П/2 и т. д.
Иными словами, одна точка на единичной окружности - это бесконечное количество углов, которые ей соответствуют (с разницей в 2П). А какое значение нужно выбрать, зависит от условия задачи. Если в условии указан интервал, выбирают из него.
Поэтому и пишут в тригонометрических уравнениях решения в виде х = П/2 + 2Пn, где n - любое целое число.