Зачем нужны тригонометрические функции, кроме синуса и косинуса?

Все эти функции появляются при решении некоторых дифференциальных уравнений, таких, которые имеют решение в виде аналитических функций.
Функция называется аналитической, если её, в общем случае, можно представить в виде бесконечного хорошо сходящегося ряда степеней аргумента. Но писать каждый раз хотя бы первые два члена этих рядов, это очень сильно напрягает и, вообще, неэкономное использование бумаги. Поэтому самым часто встречающимся рядам дали свои собственные названия, чтобы сократить написания математических формул.
Все те ряды, которые появляются от аналитических преобразований с двумя рядами sin и cos, получили названия тригонометрических функций. Все эти функции тоже аналитические (почти везде) и поэтому их тоже можно представить в виде бесконечных быстро сходящихся рядов, то есть можно работать с ними на компьютере и применять в компьютерных вычислениях.
Это главная польза от этих функций.
Разумеется аналитическими функциями являются не только тригонометрические функции, но и эллиптические, гиперболические, параболические, функции Бесселя и др.
Благодаря своей аналитичности (быстрая сходимость рядов) , все они хорошо считаются на компьютере с любой заданной точностью. Что очень сильно помогает решать многие дифференциальные уравнения.
Вот именно за этим и нужны тригонометрические функции, кроме синуса и косинуса.

Есть еще секанс и косеканс :)
А также к тригонометрическим относятся, кроме изучаемых в школе круговых синуса, косинуса и так далее, еще и гиперболические, лемнискатические и т. п.

Чтобы формулы короче записывать.

Общее число тригонометрических формул запомнить просто: их шесть. У треугольника три стороны, а любой пары сторон можно брать как прямое так и обратное отношение.
В принципе, ВСЕ тригонометрические функции можно выразить через одну, скажем синус, поэтому даже косинус можно считать лишним (если кому не нравится) .

За тангенсом, котангенсом, арксинусом, арккосинусом.

Математика предоставляет нам свободу выбора в выражении одних вещей через другие. То, что мы пользуемся свободой однобоко (синус и косинус) - это уже наши личные проблемы.

меня мучить:)