Пожалуйста распишите решение пошагово.
Нам покоящихся на гладкой горизонтальной поверхности систему, состоящую из двух тел с одинаковой массой m=0,1 кг, соединённых пружиной жёсткостью k=500 н/м, налетает тело такой же массы со скоростью 3 м/с, направленной вдоль оси пружины. Удар абсолютно упругий. Определить максимальное сжатие пружины.
Кажется, что много писанины, но это только потому, что пытаюсь расписать подробнее, и решаю прямо сразу печатая, без черновика, так что отслеживайте ошибки (а лучше сама проделайте все).
1) Запишем полную энергию.
До столкновения:
E = m v^2 / 2
После столкновения:
E = m u^2 / 2 + m Vc^2 + m vc^2 + k x^2 / 2
Первое слагаемое - энергия налетевшего шарика после удара.
Второе слагаемое - энергия движения составного тела (2 шара + пружинка) как целого.
Третье слагаемое - энергия движения шариков на пружинке относительно их центра масс:
m vc^2 / 2 + m vc^2 / 2 = m vc^2. Скорости одинаковы по модулю, т. к. полный импульс системы в системе центра масс системы равен нулю.
Четвертое слагаемое - энергия упругой деформации.
ЗСЭ:
m v^2 / 2 = m u^2 / 2 + m Vc^2 + m vc^2 + k x^2 / 2
Левая часть равенства у нас фиксирована.
Первые два слагаемых правой части фиксируются в момент удара и далее не изменяются.
А вот последние два слагаемых могут изменяться в процессе движения (после удара). Но раз остальные слагаемое не меняются, то и сумма эти двух слагаемых постоянна:
Eвн = m vc^2 + k x^2 / 2
(внутренняя энергия)
Когда x = 0, |vc| = max(|vc|),
когда |x| = max(|x|), vc = 0.
2) Запишем полный импульс (проекцию на ось, вдоль которой происходит движение).
До столкновения:
P = m v
После столкновения:
P = m u + 2 m Vc
ЗСИ:
m v = m u + 2 m Vc
3) Налетающее тело, как я понял, мгновенно приводит в движение одно из тел, скрепленных пружиной. Второе из тел после удара сначала покоится, и деформации нет. Тогда:
m Vc = m vc / 2 (в начальный момент времени).
x = 0, значит |vc| = max(|vc|).
То есть мы нашли:
max(|vc|) = 2 |Vc|
А тогда:
Eвн = m vc^2 + k x^2 / 2 = m (max|vc|)^2 = 4 m Vc^2
От сюда можно выразить искомую величину:
Eвн = 0 + k max|x|^2 / 2 = 4 m Vc^2
max|x| = 2 |Vc| sqrt(2 m / k)
Получили выражение для искомой величины, надо теперь найти Vc.
4) Запишем систему уравнений ЗСЭ и ЗСИ:
m v^2 / 2 = m u^2 / 2 + 5 m Vc^2
m v = m u + 2 m Vc
Сокращаем все на m:
v^2 / 2 = u^2 / 2 + 5 Vc^2
v = u + 2 Vc
Исключаем неизвестную u, получаем уравнение для Vc > 0:
v^2 = [v - 2 Vc]^2 + 10 Vc^2
От куда:
Vc = (2 / 7) v
Тогда искомая величина:
max|x| = 2 |Vc| sqrt(2 m / k) = max|x| = (4 / 7) v sqrt(2 m / k)
Если подставить чиселки, получается:
max|x| = 0.03429 (м)
После округления совпадает с тем, что у вас в ответе.
V1 - скорость тела, соединенного пружиной, испытавшего удар, сразу после удара.
Из закона сохранения импульса СРАЗУ после КОРОТКОГО столкновения
m*Vo = m*V1
Т. е. двигавшееся тело остановится, а покоящееся поедет с той же скоростью.
V2 - скорость тел, соединенных пружиной в момент её максимального сжатия.
x - максимальное сжатие пружины.
m*V1 = 2*m*V2
Из закона сохранения энергии:
m*V1^2/2 = 2*m*V2^2/2 + k*x^2/2
Физика закончена, займёмся математикой.
m*V1^2 = m*V1^2/2 + k*x^2
k*x^2 = m*V1^2/2
x = Sqrt(m*V1^2/2*k) = Sqrt(0,1*9/2*500) = 0,03
У нас получаются два пружинных маятника, колеблющихся относительно центра масс системы, двигающегося после столкновения со скоростью v1=mv/(2m)=v/2, где v - скорость налетевшего тела. Перейдем в систему отсчета центра масс. В момент удара одно из тел системы получило скорость v относительно поверхности, другое осталось на месте, а в СО центра масс оба стали двигаться к ц. м. со скоростью v/2. Каждое из тел сжимает свою половинку пружины на величину х/2, при этом жесткость этой половины составляет 2k.
Из ЗСЭ:
2k*(x/2)^2/2=m*(v/2)^2/2
x=sqrt[m*v^2/(2k)]=sqrt[0,1*3^2/(2*500)]=0,03
