Какая температура на светлой и тёмной стороне на экзопланете procsima b?

Недостаточно данных для ответа. Все экзопланеты слишком далеко, чтобы делать о них столь подробные выводы. Максимум, что можно говорить - что "там ВОЗМОЖНО есть какая-то планета" - и то, без особенной уверенности, т. к. увидеть эти планеты мы физически не можем. Только догадываться об их присутствии по косвенным признакам, не более того.

Нам примерно известна минимальная (!) масса этой экзопланеты и её период обращения, дающий удаленность от звезды. Предположения о температуре делаются обычно при условии земного состава атмосферы. Атмосфера же будет определять температуру на поверхности. Поскольку Проксима Б чуть массивнее Земли и заметно дальше аналога земной орбиты, она может быть как супер-Венерой с сотней атмосфер углекислоты, так и заледеневшей планетой-снежком с тонкой азотной атмосферой. Соответственно, чем плотнее атмосфера и чем насыщеннее парниковыми газами, тем выше будет температура и тем меньше перепады между светлой и темной стороной. Учитываем, что планета, вероятно (но не обязательно) обращена к звезде одной стороной, что делает циркуляцию атмосферы и воды очень специфичной. Учитываем и то, что Проксима вспышечная звезда, и состав атмосферы сильно зависит от того, сколько лёгких веществ было на планете и сколько с неё сдуло вспышками.

В общем, ждем, может телескоп Джеймса Вебба таки запустят, и он позволит получить её спектр.

При земном составе атмосферы и площади океанов, при повороте одной стороной к звезде, полагаю (по моделям), будет примерно так (без учета конфигурации материков и течений):
В центре освещенного полушария большой циклон, температура и влажность как в самых влажных местах земного экватора - аналог климата джунглей. Воздух нагревается, поднимается в верхнюю тропосферу, сбрасывает влагу дождями.
Далее с удалением от центра температура и влажность убывают -аналог климата саванн, затем степей и тундр, с участками более влажных мест на северных склонах гор. Воздух внизу течет от терминатора к центру полушария, нагреваясь и становясь суше, в верхней тропосфере расходится от циклона к терминатору, остывая.
Недалеко от терминатора начинаются льды.
На ночной стороне в среднем -30...-60, местами, в ветровой тени - существенно ниже (как бы не выпал там углекислый газ), сухо, похоже на внутренние районы Антарктиды. Воздух, пришедший по верхней тропосфере с освещенного полушария, остывает, опускается, сжимается и нагревается при этом, поглощая влагу, потом растекается к терминатору.

При вращении планеты в резонансе 3:2 с обращением будет всё еще специфичней.