Можно ли сказать, что звук и нота - это одно и то же?

НЕТ.
Звуки делятся на музыкальные и шумовые. У шумовых звуков нет точно выраженной высоты и к ним относятся: стук, шорох, скрип, шуршание, треск и так далее
Музыкальный звук имеет определенную высоту, и ее можно абсолютно точно измерить. Любой музыкальный звук можно повторить с помощью голоса или музыкального инструмента. Физический характер музыкального звука определяют три свойства:
Высота
Громкость
Тембр

Нота - это обозначение музыкального звука, хотя в просторечии слово "нота" используется как синоним "музыкального звука"; мы ведь говорим "нота звучит", потому что фраза "звучит музыкальный звук, соответствующий ноте..." - это чудовищно громоздко.

Буква и звук одно и то же?

Попробуйте записать с помощью нот звук бензопилы, например. В этом и кроется разница этих понятий.

В переносном смысле -- можно. Но только если звук долгий и монотонный. У скоростного глиссера с полупогруженным винтом, например, о работе винта судят по его "ноте". Авиационные механики во времена поршневых двигателей опять-таки говорили о "ноте" двигателя; сейчас такое можно слышать о двигателях гоночных автомобилей. Изменение "ноты" в обоих случаях означает изменение режима работы механизма, создающего "ноту".

Звук аналоговый

Звук нейтронных звёзд пишут, какой то импульс . Может и нота импульс .

Про гармоники ничего не слышали???

Звук мы извлекаем и слышим, ноту мы читаем и пишем.
Фраза "дайте ноту ля" означает извлеките звук, который обозначается нотой ля.

Нота - это звук определённой частоты, который является частью математического ряда звуков с такими же определёнными частотами. Определяются они соотношением длины волны к длине волны всей тональности.
Например, по нынешним стандартам "ля" 1й октавы имеет частоту 440 гц, а второй октавы 880 гц - ровно в два раза больше.

нота может быть одна, а звук ее разный. Таким образом мы различаем, например, певцов.

"точно так же записать"
Я не понял, как это именно - "так же". В MIDI, например, рычание белки записать проблематично. А на диктофон - запросто.

Мне кажется нота эта такая буква которой записывается определенная частота звука
Каждой ноте своя частота