Почему, если барометр показывает высокое давление - зима холодная, а лето тёплое, а если низкое наоборот?

Потому что ветер с океана теплый дует. Если с зимней температурой сравнивать. А если с летней - то холодный.

Ветер это движение теплых или холодных масс воздуха по спирали.
Движение атмосферы на земле представляет из себя движение воздушных масс воздуха по спирали
L - это циклоны - зоны низкого давления, воздушные массы теплого воздуха, которые при вращении втягивают в себя, в центр "глаза циклона", циклоны вращаются по спирали в северном полушарии по часовой стрелки, а в южном полушарии против часовой стрелке. На картах обозначаются как полукруг вдоль изобары. (изобары - линии соединяющие точки с одинаковым давлением)
H - это антициклоны - зоны холодного воздуха и высокого давления, которые наоборот вращают массы воздуха из себя наружу, антициклоны вращаются по спирали в северном полушарии против часовой стрелке, а в южном полушарии по часовой стрелке. На картах обозначаются как треугольники вдоль изобар.
Тайфуны зарождаются на экваторе и под действием сил инерции вращающейся земли отклоняются и постепенно вырождаясь в циклоны, которые в северном полушарии движутся на северо восток, а в южном полушарии на юго запад.
Фронт окклюзии это процесс слияния циклона и антициклона, когда холодные массы антициклона вкручиваются в теплые массы циклона, образуя резкий градиент (разницу), формируя при этом локальный участок погоды. Чем резче падает (повышается) давление, тем больший градиент будет вызван.
Циклоны имеют четверти. Верхняя правая -первая-самая опасная, далее по часовой стрелки вторая, третья и четвертая. Для каждой четверти характерен свой вид осадков.
Циклоны это массы воздуха вращающиеся по спирали внутрь себя, следовательно ветер определяется как касательная к изобаре с определенным углом, который зависит от широты места. Вектор будет направлен внутрь циклона.
Антициклоны наоборот, это массы воздуха вращающиеся по спирали из себя наружу, следовательно ветер определяется как касательная к изобаре с определенным углом, который зависит от широты места. Вектор направлен изнутри антициклона наружу.

Высокое давление - антициклон. Почти во всём антициклоне ясная погода и нет осадков. Что такое ясная погода зимой и летом? Зимой Солнца мало (а местами - вообще полярная ночь), а ночи длинные и тёмные. Все остатки тепла за такую ночь успевают распределиться по атмосфере - у поверхности Земли к утру становится очень холодно.
Летом - всё наоборот. Солнце поднимается высоко и светит долго - воздух успевает хорошо прогреться. А за короткую ночь сильно остыть не успевает. Вот Вам и жара в результате.
Понижение давления способствует образованию облаков.
Облачность летними днями не пропускает солнечный свет к Земле - не происходит сильного прогрева - нет жары.
Облачность зимними ночами не пропускает тепло от Земли вверх - не происходит сильного выхолаживания - нет морозов.
Хотя есть и нюансы - облачность бывает разная, от направления и силы ветра тоже кое-что зависит, ну и осадки (или их отсутствие) вносят свой вклад в колебания температуры воздуха.
Но в целом картина такая - от давления зависит облачность, от неё - температура.