Существует ли универсальная формула для нахождения любых корней

Если вы спрашиваете про полиномы, то общей формулы не существует.
Мало того, через конечное количество сложений, вычитаний, умножений, делений, возведений в степень и извлечений корней можно аналитически записать только формулы нахождения корней у полиномов до 4-й степени. А всё, что выше 4-й степени уже через конечное число операций не записывается, только через бесконечные ряды.

Разумеется, это возможно. Иначе бы как по-твоему калькулятор мог их вычислять?
Единственный момент - делается это через ряды Тейлора. Т. е. с ограничением по точности и задолбисси считать вручную.

Все эти корни любой степени вычисляются с любой требуемой точностью. С помощью рядов.

Только для тех, у кого одна извилина. И та - от фуражки!

Формула степени x=y^(1/n) удовлетворяет всем поставленным вами условиям.
Формула - это краткая запись способа вычислений (и, даже, запись числа - это способ вычисления значения).
Более развёрнуто - метод, способ вычислений.
Большая куча таких способов. Проблема в выборе лучшего для конкретной задачи. Рекомендую кучу учебников раздела "Вычислительная математика", "Численные методы" (анализа)...
Хоть в один загляните.
Методы итераций, с логарифмированием, рядами, приближения Паде, цепные дроби...

Пользуясь лишь 4 основными арифметическим действиями, извлечём из числа 768 корень 7-й степени.
6-я степень числа 3 равна 27*27= 729, а 7-я степень 729*3= 2187. Значит, искомый корень меньше 3.
1) Примем 2,8. его 6-я степень даёт 481,8903. Делим: 768/481,8903= 1,594.
2) Находим среднее арифметическое между 6 раз 2,8 и один раз 1,594. Это даёт (6*2,8+1,594)/7= 2,628.
3) 6-я степень 2,628 даёт 329,422. Делим: 768/329,422= 2,331.
4) Находим среднее арифметическое между 6 раз 2,628 и один раз 2,331. Это даёт (6*2,628+2,331)/7= 2,585.
Эту процедуру можно и продолжить. Но остановимся на этом и примем, что искомый корень есть 2,585. Действительное же значение 2,583. О степени точности судите сами.

Численно можно. А точное значение в виде дроби или дроби с корнями не просто сложно, а в некоторых случаях даже невозможно узнать, потому что число не представимо в таком виде (математики говорят «в радикалах», то есть выражение с четырьмя арифметическими действиями и степенями/корнями).

Вычисление приближенного численного значения корня произвольной степени с помощью рядов возможно, но непрактично.

Гораздо практичнее формулы, использующие метод последовательных приближений.

См., например,
ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_нахождения_корня_n-ной_степени

таблица Брадиса)

Тут ключевых вопросов два - а какие операции разрешено использовать в формуле?
И принципиально ли тебе нужна точная формула, в которой количество операций конечно, или ты имеешь право заменить формулу на алгоритм, вычисляющий значение корня с заданной точностью?

Если ты программируешь на языке Паскаль, то тебе, может, формула exp(ln(x)/n) сгодится, а если решаешь уравнение x^n = a в действительных радикалах, то вопрос вообще теряет смысл - корень n-й степени ты имеешь право в формуле извлекать.

\\Формула степени x=y^(1/n) удовлетворяет всем поставленным вами условиям. \\ сказал Юрий Семыкин
добавлю: калькулятор собирает величину 1/n из степеней двойки 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 и т. д., раз за разом берёт квадратный корень из y\игрека\ и перемножает нужные степени
т. е. умея извлекать квадратный корень я могу вычислить любой другой корень с наперед заданной точностью

зы: для примера
x = 3,58^2,625 вычисляется так
2,625 = 2 + 0,5 + 0,125
x = 3,58^2 * 3,58^(1/2) * 3,58^(1/8)