Рассчитать время падения тела (в данном случае Земли) при уменьшении орбитальной скорости на Солнце

Смотри без нелюбимых тобой интегралов:
1. Система Земля-Солнце почти замкнутая, так как влияние на её других планет ничтожно. А потому для неё условие равновесия mv2/2 = GmM/2R, где
m - масса Земли,
М - масса Солнца
G - гравитационная постоянная
R - радиус орбиты
v - орбитальная скорость.
2. Из условий равновесия находим выражение для орбитальной скорости.
v2 = MG/R
Из него видно что при уменьшении левой части (V) должна уменьшиться и правая часть.
Но масса Солнца и гравитационная постоянная вряд ли уменьшатся. Согласен?
Следовательно должен измениться радиус орбиты. Для того что бы MG/R уменьшилось, сам видишь, должен увеличиться радиус орбиты R.
3. Таким образом. Ты фактически задал вопрос: Каким будет радиус орбиты планеты при данной орбитальной скорости.
Ответ: при меньшей орбитальной скорости радиус орбиты УВЕЛИЧИТСЯ.
4. Парадокс? Нет!
Дело в том, что ты не зришь в корень. Смотришь на орбитальную скорость, а это всего лишь производная величина, зависящая от некоторых более фундаментальных величин.
Для планеты надо смотреть на такую физическую величину как орбитальный момент. Он же кинетический момент.
Если совсем грубо - это запас кинетической энергии вращающегося тела.
И, кстати, понятно почему ты его избегаешь - тут, увы, без интегралов ни как.
Но если на пальцах, то правильный вопрос будет примерно таким: За какое время Земля упадет на Солнце, если её орбитальный момент все время будет уменьшаться на некоторую величину?
5. Сам видишь - тут же возникает встречный вопрос на который надо отвечать: А за счет чего орбитальный момент, т. е. кинетическая энергия движения Земли по орбите будет уменьшаться? Куда девается "лишняя" энергия? Ведь система Земля-Солнце замкнутая. Почти.: -)
6. И вот тебе на всякий случай такая табличка:
Планеты и их орбитальная скорость.

1.Меркурий - 47,87 км/с.
2. Венера - 35,02 км/с.
3. Земля - 29,78 км/с.
4. Марс - 24,13 км/с.
5. Юпитер - 13,07 км/с.
6. Сатурн - 9,69 км/с.
7. Уран - 6,81 км/с.
8. Нептун - 5,43 км/с.
Как видишь чем дальше планета от Солнца, тем медленнее она ползет по орбите.
В принципе это иллюстрация формулы с которой мы начали.

Так что зри в корень - будешь задавать вопросы правильно. Или, что тоже самое, сам будешь видеть правильные ответы.

Ни с какой не упадет. Если планета находится на удалении, где 1-я косм. скорость чуть выше, чем имеет планета, то планета начинает приближаться к светилу. При этом ее скорость возрастает. И возрастает она БЫСТРЕЕ, чем возрастает 1-я косм. скорость для текущей высоты орбиты. Через некоторое время обе эти скорости сравняются - но планета не может остаться на этой высоте, потому что уже набрала инерцию к снижению. Поэтому она продолжает снижаться, но ее скорость уже выше 1-й космической, и продолжает расти. Через еще один промежуток времени (точно такой же по длительности) инерция снижения иссякает, и планета оказывается на круговой орбите с ПРЕВЫШЕНИЕМ необходимой скорости. Поэтому она начинает снова набирать высоту и постепенно терять скорость.
В результате планета летает по эллиптической орбите, периодически набирая скорость и затормаживаясь.

За нисколько. Просто орбита постепенно понизится до той, на которой заданная скорость уже будет достаточной.

Похвально, что интересуешься подобными вопросами.
Уже объяснили, что с уменьшением скорости Земли она удаляется от Солнца. Для лучшего понимания вопроса тебе лучше отыскать материал (напр., в Инете) о манёврах ИСЗ при спуске с орбиты. По мере торможения спутник приближается к Земле, но его скорость растёт. Однако на участке непосредственно перед посадкой эллиптическая орбита пересекает поверхность Земли, торможение вызывает уменьшение скорости, и спутник входит в атмосферу хотя и с достаточно большой, но приемлемой скоростью.
А из теории (теормеха) могу напомнить ЗСМИ (закон сохранения момента импульса) и ЗСЭ.

По теме уже ответили, а расхождение в цифрах может быть объяснено погрешностью вычислений. По идее, средняя скорость Земли должна быть чуть-чуть-чуть ниже орбитальной, поскольку часть (порядка 120 тыс. тонн силы) силы притяжения Земли к Солнцу компенсируется давлением света и солнечного ветра.

E = mc2