Без учёта изменения ускорения свободного падения с изменением расстояния от центра Земли формулы расчёта длительности падения с определённой высоты или высоты, с которой тело успеет упасть за указанное время очень простые:
h=(g*t^2)/2
t=sqrt((h*2)/g)
где h - высота в метрах, t - время в секундах, g - ускорение свободного падения в метрах в секунду за секунду
Для небольших высот точность этих формул достаточна, но на больших высотах (например 300 километров) ускорение свободного падения заметно меньше чем на поверхности Земли. Всё что я могу - расчитать длительность или высоту падения при ускорении свободного падения на земной поверхности, при ускорении свободного падения на максимальной высоте и знать минимальные и максимальные значения.
Какие формулы учитывают зависимость ускорения свободного падения от высоты?
Естественные науки
Расчёт свободного падения тел с учётом "падения" гравитации с высотой
Малик Джамбаев
118
Там будет существенным сопротивление воздуха. Скорее всего им нельзя пренебрегать. Но для простоты можно рассмотреть и так. Обозначения:
G - гравитационная постоянная
m - масса объекта
M - масса Земли
r - расстояние до центра Земли
R - радиус Земли
h - высота над Землей
Сила тяжести:
F = G m M / r^2
Если объект в процессе движения находится все время вблизи поверхности Земли, то всегда r ≈ R, тогда:
F ≈ G m M / R^2 = m [ G M / R^2 ] = m g
Теперь предположим, что объект находится а высоте h на поверхностью Земли, положим h << R, и учтем только первую поправку по h/R << 1:
F = G m M / (R + h)^2 = m (G M / R^2) / (1 + h/R)^2 =
= m g / (1 + h/R)^2 ≈ m g / (1 + 2 h/R) ≈ m g (1 - 2 h/R)
(Учли только первую поправку)
Теперь запишем второй закон Ньютона, воспользовавшись этим выражением для силы:
m d(Vy)/dt = - m g (1 - 2 Y/R)
Если тело падало с начальной скорости с высоты h, то решение уравнения движения:
Y(t) = 0.5 R - (0.5 R - h) cosh( sqrt[2 g / R] t )
Если и тут учесть лишь первую поправку:
Y(t) ≈ h - 0.5 g (1 - 2 h / R) t^2
Первая формула для Y(t) - точное решение приближенного уравнения, поэтому она содержит превышение точности, поэтом она излишняя, можем искать время по второй формулке (она в том же приближении, что и уравнение).
При равняем высоту Y нулю и найдем с той же точностью время падения T:
T = sqrt(2 h / g) / sqrt(1 - 2 h / R) ≈ (1 + [h / R]) sqrt(2 h / g)
Можно учесть и дальнейшие поправки. Конечно, можно вообще использовать точное выражение силой тяжести, но тогда для времени падения получится "красивый" интеграл с арктангенсом под квадратным корнем в знаменателе. Если хотите, можете попробовать его на вкус))
Ну а вообще, чтобы для таких высот что-то применять, нужно еще учесть сопротивление воздуха. Для этого в уравнение нужно добавить линейный (вязкое трение) и/или квадратичный (лобовое сопротивление) член по скорости.
G - гравитационная постоянная
m - масса объекта
M - масса Земли
r - расстояние до центра Земли
R - радиус Земли
h - высота над Землей
Сила тяжести:
F = G m M / r^2
Если объект в процессе движения находится все время вблизи поверхности Земли, то всегда r ≈ R, тогда:
F ≈ G m M / R^2 = m [ G M / R^2 ] = m g
Теперь предположим, что объект находится а высоте h на поверхностью Земли, положим h << R, и учтем только первую поправку по h/R << 1:
F = G m M / (R + h)^2 = m (G M / R^2) / (1 + h/R)^2 =
= m g / (1 + h/R)^2 ≈ m g / (1 + 2 h/R) ≈ m g (1 - 2 h/R)
(Учли только первую поправку)
Теперь запишем второй закон Ньютона, воспользовавшись этим выражением для силы:
m d(Vy)/dt = - m g (1 - 2 Y/R)
Если тело падало с начальной скорости с высоты h, то решение уравнения движения:
Y(t) = 0.5 R - (0.5 R - h) cosh( sqrt[2 g / R] t )
Если и тут учесть лишь первую поправку:
Y(t) ≈ h - 0.5 g (1 - 2 h / R) t^2
Первая формула для Y(t) - точное решение приближенного уравнения, поэтому она содержит превышение точности, поэтом она излишняя, можем искать время по второй формулке (она в том же приближении, что и уравнение).
При равняем высоту Y нулю и найдем с той же точностью время падения T:
T = sqrt(2 h / g) / sqrt(1 - 2 h / R) ≈ (1 + [h / R]) sqrt(2 h / g)
Можно учесть и дальнейшие поправки. Конечно, можно вообще использовать точное выражение силой тяжести, но тогда для времени падения получится "красивый" интеграл с арктангенсом под квадратным корнем в знаменателе. Если хотите, можете попробовать его на вкус))
Ну а вообще, чтобы для таких высот что-то применять, нужно еще учесть сопротивление воздуха. Для этого в уравнение нужно добавить линейный (вязкое трение) и/или квадратичный (лобовое сопротивление) член по скорости.
Акмарал Кожахметова
Акмарал Кожахметова
Акмарал Кожахметова
Если устремить радиус Земли R к бесконечности, то время падения tп стремится к известному sqrt(2 h / g).
На практике в земных условиях от этих формул нет никакой пользы из-за сопротивления воздуха, т. к. пролетев какую-нибудь сотню метров ускорение тела сделается равным нулю и тело будет лететь равномерно. Если только теоретически в вакууме, то надо интегрированием высоты от функции зависимости g(h)dh.
Сама формула зависимости есть в учебнике 9 класса
Сама формула зависимости есть в учебнике 9 класса
Малик Джамбаев
А можно подробнее про интегрирование высоты? Я сам 9 класс только окончил, трудновато
Похожие вопросы
- Падение тела с учётом высоты (разнится ускорение свободного падения)
- Почему во время свободного падения тело находится в состоянии невесомости?
- Почему же ускорение свободного падения тел не зависит от силы тяжести?(((
- совершает ли работу сила тяжести при свободном падении тела?
- В каких районах Земли ускорение свободного падения тела будет минимальным?
- Чему равна максимальная скорость свободного падения тела на землю? +
- Задача по физике на свободное падение тел
- Как найти ускорение свободного падения с учетом размеров тел?
- Почему при свободном падении под действием ГРАВИТАЦИИ ощущается невесомость (как при движении по инерции)?
- За последнюю секунду падения тело прошло в 2 раза больший путь,чем за предпоследнюю.Найти высоту, с которой падало тело.