Как определяют вес космического объекта?

1. Не вес, а массу. Это две большие разницы. К космическим объектам термин вес не применим в принципе.
2. Масса космического объекта легко определяется по 3-му закону Кеплера.
"Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.."

Ну для планет в такой записи закон не вполне справедлив. Если массы тел соизмеримы, то в формуле присутствуют еще и их массы. Если массой одного из тел можно пренебречь, скажем массой спутника на орбите вокруг Земли или Солнца, не важно, то такая запись верна.

Т. е. так просто-просто, посмотрев космическое тело про его массу можно только гадать.
Примерно прикинуть размер, примерно прикинуть плотность его вещества... И получится очень примерно. Это нормальная астрономическая точность. Если на порядок не ошибся - все ОК.: -)

В случае с Солнцем, Землей, Луной и планетами Солнечной системе все намного лучше.
Популярно и кратко этот вопрос освещен здесь:
https://spacegid.com/kak-izmerjajut-massu-planet.html

Не вес, а массу. Определяют - по гравитационным возмущениям и влияниям на другие (окружающие) объекты. Ведь гравитация объекта напрямую зависит от его массы.

Через плотность и объём...

Например, массу космонавта в космическом корабле можно измерить так. Привязать за ноги и за руки к упругим резиновым шнурам известной жёсткости и привести в колебание. По периоду колебаний Т по формуле Томсона найти массу m.

Чаще всего по гравитационному взаимодействию с объектами известной массы.

Определяют примерную массу по спектроанализу и размерам объекта .

Они практически все невесомы.