Если планета движется вокруг оси,будет ли двигаться по её орбите тот объект,который движется в ту же сторону?

Путаный вопрос. От слова очень.
Скорее всего ты имеешь ввиду геостационарные спутники. Это такие спутники период обращения которых вокруг планеты равен периоду вращения самой планеты вокруг своей оси. И при этом спутники вращаются в плоскости экватора и направление вращения совпадает с направлением вращения планеты.
Для Земли радиус геостационарной орбиты чуть больше 42 тыс. километров. Это расстояние от центра Земли до спутника. От поверхности Земли до спутник будет чуть менее 36 тыс. км.
Если указанные выше условия выполнены, то спутник зависает над некоторой точкой экватора. (Называется "точка стояния").
***
Далее. Ты себя капитально запутал с "точками отсчета". Перемудрил короче. В рамках своего примера об "относительно самой планеты" и про "точку отсчета" забудь. Совсем.

С точки зрения космического аппарата (КА) вращающегося вокруг планеты, планета это некая масса сконцентрированная в одной точке - центре планеты. А потому для КА абсолютно фиолетово какая плотность у данной планеты (каков её радиус) и в какую сторону эта планета вращается. (Ну разумеется если КА находится достаточно далеко от планеты за пределами её атмосферы если таковая имеется.
***
Идём еще дальше. Вспоминаем теорию товарища Эйнштейна. В принципе любая вращающаяся масса типа увлекает за собой пространство (если объяснять на пальцах) и потому чисто теоретически спутник будет по орбите смещаться. Но для системы планета-спутник это смещение так мало, что даже при желании его не заметить. Слишком малы массы.
Вот для системы Солнце-Меркурий этот эффект ОТО вполне заметен и вполне измеряется. Но опять же это такая ерунда, что простым смертным про это и знать ни к чему. За столетие перигелий Меркурия за счет эффектов ОТО смещается на 43 УГЛОВЫХ СЕКУНДЫ.
43 угловых секунды за столетие, Карл!
Так что про теорию относительности вообще в рамках твоего вопроса можно даже не вспоминать.

не упадет

например, пару дней назад запущен телескоп (James Webb Space Telescope, JWST), который будет находиться в точке Лагранжа (на анимации - в точке L2)

то есть он будет много лет летать вокруг Солнца параллельно Земле
и падать на Землю он очевидно не собирается

https://ru.wikipedia.org/wiki/Джеймс_Уэбб_(телескоп)

Если и считать что-то _точкой_ отсчета, то придется признать, что эта точка относительно инерциальной системы отсчета имеет лишь три степени свободы. Что разумно сделать с остальными тремя степенями? Обнулить по ним всякое движение в баню! Ориентировать оси по звездам.

А чтоб не было в общем случае такого бардака, в 8-м классе раньше предлагали частью системы оосчета делать не какую-то там материальную точку отсчета, а тело отсчета. Вот прямо в детском определении системы остчета и было написано, что тело отсчета - ее неотъемлемая часть. Но уже в девятом или каком-то классе предлагали рассматривать систему центра инерции механической системы, в которой вместо тела отсчета выбирали-таки точку отсчета, а оси ониентировали так, чтоб она двигалась относительно инерциальной лишь поступательно. А в десятом или каком-то классе уже рассматривали вращающиеся СО.

Сейчас, может, иначе учат, вам виднее, вы ж молодежь. Нас учили выбирать СО так, чтоб самим удобно было, а не как какой-то дядька прописал. А для этого неплохо бы понимать, как СО вобще можно задать.

Объект движущийся по оси в любую сторону имеет совершенно определённую скорость. Первую космическую, если быть точным. И похрену ему куда она вертится. Это зависит от её массы и высоты над поверхностью.