Какие условия необходимы для существования кратных звёздных систем?

Это зависит от того, что вы называете кратными звездными системами.
Например, наше Солнце входит в 100-миллиарднократную звездную систему, которая называется Наша Галактика.
Но есть и меньше кратная система, в которую входит наше Солнце. В этой системе всего около нескольких миллионов звезд.

Обычные.
То есть только некое экстраординарное событие может разрушить кратную систему. Тесное сближение с массивной звездой (а с не одной и подавно) или взрыв компонента.
Всё сложнее, конечно, надо теорию устойчивости применять, однако.
На ранних этапах существования кратные системы могут распадаться, пока не войдут в устойчивый режим.

Особые условия для существования кратных звёздных систем не нужны. Нужны начальные условия для появления (зарождения) нескольких звёзд в одном месте и соответствующий начальный момент импульса.

Вопрос поставлен не верно. Кратные звездные системы - норма. Большинство звед - кратные.
Одиночные звезды - исключение. Правда не такое редкое. Считается что их 25% от общего числа.
Условия формирования кратных звезд - не симметричность исходного газо-пылевого облака скорость его осевого вращения.

И вообще звезды, одиночные или кратные, не рождаются как таковые из изолированных газо-пылевых облаков. Звезды рождаются группами из обширных облаков в результате коллапса их. При этом так как эти обширные облака априори имеют причудливую, несимметричную форму. Поэтому по большому счету можете считать такое скопление новорожденных звезд можете считать некой кратной суперзвездой. Но компоненты этой системы слабо связаны и потому распадаются.
Пример такой распадающейся системы - ковш Большой медведицы. Все звезды в ковше родились одновременно и сейчас разлетаются.
Ради интереса посчитайте сколько в ковше кратных звезд и сколько одиночных. Удивитесь.

При математическом моделировании процесса коллапса газо-пылевого облака чаще получаются кратные звезды и только в исключительных случаях - одиночные. Математическая модель не факт что точное соответствие реальности. Но соответствие того, что видим в результате расчетов с тем, что наблюдаем на звездном небе наводит на определенные мысли.