Почему при сжатии газ греется, а при "расжатии" - охлаждается?

При сжатии поршень толкает молекулы газа и сообщает им скорость. А чем быстрее движутся молекулы, тем выше температура. Ну и наоборот...

А во что ещё ему перевести сообщённую энергию или как выделить освободившуюся?

согласно закону сохранения импульса системы поршень-молекула

Пусть поршень движется с достаточно малой скоростью v в сторону днища цилиндра (идёт сжатие газа). Молекула движется навстречу поршня со скоростью V. Тогда скорость молекулы относительно поршня будет V+v . При отражении относительная скорость останется, но скорость молекулы относительно цилиндра (т.е абсолютная скорость) будет уже (V+v)+v= V+2v. Таким образом после соударений скорость молекулы возрастёт на 2v, 4v, 6v и т.д. А рост скорости молекулы равносильно увеличению температуры газа.
Рассуждать аналогично о расширении оставляю автору вопроса.
(Кстати, в 1981 г. руководствуясь именно этими соображениями я вывел известное уравнение адиабатного процесса pV^k= const исключительно на основе молекулярно-кинетической теории: до того, насколько мне известно, такого вывода не было. Опубликовать вывод мне удалось лишь в 2003 году...)

Физику иди учи - 6 класс

Термодинамика.

В идеале термодинамика равновесная, а процесс адиабатический - при расширении газ толкает стенки сосуда или поршень и совершает работу, энергию теряет; остывает, а обратно его не греют.

Ну, можно газ при расширении подогревать, только не очень быстро, а поршень убирать быстро, но не на десяти среднеквадратичных скоростях молекул - чтоб какой-то разумный процент молекул газа все-таки успевал поршень догонять и поддавать ему пендаля, теряя энергию. При превышении среднеквадратичной скорости сей процент будет стремительно убывать - см. распределение Максвелла.

адиабатический процесс

Как людишки утром в скотовозе, по дороге на работу.
Пока народу мало - тихие (не греются). Как народу становится, как сельдей в бочке - разогреваются.