Почему в данном случае у g разные знаки?

Здесь v0 и g - модули.
Путь - длина траектории. Путь, продейнный материальной точкой за промежуток времени, равен интегралу от модуля скорости материальной точки на этом промежутке.

Момент времени, когда первое тело в наивысшей точке (а второе кидают), принят за 0.
Первое тело с этого момента летит с модулем скорости gt, потому что летит вниз.
Второе тело с этого момента летит с модулем скорости v0 - gt, потому что оно летит на этом промежутке только вверх. Напоминаю, что v0 и g здесь - модули.

g - это ускорение. Оно положительное если направлено по движению и отрицательное, если против него. Всё. Это всё, что можно сказать по тому куску данных, что ты сюда вывалил, видимо решив, что полные условия задачи мы должны загрузить из инфополя вселенной.

Всё зависит только от того, куда решатель направил ось Оу.
Если ось Оу направить вверх, куда направлена начальная скорость в момент бросания, то вектор ускорения свободного падения будет направлен "всегда" вниз, т.е. проекция ускорения будет отрицательна. А теперь в формуле перейдём к модулям. Ну и как по твоему отрицательную проекцию записать? Пральна, как -g.

В решении говорится о пути, а не о перемещении. Путь берут положительным, куда бы ни было направлено движение.
Впрочем, всё это можно было бы изложить так, чтобы был учтен знак ускорения. От этого суть не меняется

Машина ускоряется или тормозит - от этого зависит Модуль ускорения.
И от того,как ты сидишь в машине. Лицом вперёд или назад...
Скачай приложение Gmeter.
Разберись сам!

Всё верно. G положительно в тех местах, где ускорение по направлению совпадает со скоростью и отрицательно там, где противоположно.

g направлено в одну сторону, а вот скорость в середине меняется на противоположную.

Потому что они летят в разные стороны, а ускорение направлено в одну...