Почему шарик с менее плотным газом чем воздух поднимается вверх?

Давление - как жидкости, так и газа - давит со всех сторон одинаково, это верно. Это называется "Закон Паскаля". Но не нужно забывать м-а-а-а-ленькой необходимой добавки: НА ДАННОЙ ГЛУБИНЕ (или высоте).
При этом с глубиной давление возрастает по основному уравнению гидростатики P = pgh.
В жидкостях из-за их несжимаемости плотность р неизменна, поэтому давление прямо пропорционально глубине, в газах зависимость более сложная, но все равно давление возрастает с глубиной.
Поэтому разные части любого объема, погруженного в жидкость или газ, испытывают разное давление в разных точках поверхности, чем глубже, тем давление больше. При этом в любой точке давление действует перпендикулярно касательной к поверхности тела в этой точке. И если проинтегрировать давление по поверхности, то получится, что силы, действующие снизу и направленные вверх, будут больше сил, действующих сверху и направленных вниз. Равнодействующая сила будет направлена строго вверх. Она называется выталкивающей или архимедовой силы.
Так случилось, что Архимед открыл свой закон за тысячу восемьсот с хвостиком лет до Паскаля. Он его открыл, а спустя почти девятнадцать столетий на основании закона Паскаля ему нашли четкое обоснование и математическое выражение.

Так его выталкивает внешняя среда, где более плотный газ всегда ближе к поверхности Земли.

Архимедова сила - ρgV. Однако не всякий шарик газ поднимет, а только если (m0+m)/V < ρ0.

Где слышал? А читать не пробовал?