"Белые ночи" в Питере, Архангельске, и других северных городах: это полярный день, или что это?

Почти. Солнце там заходит за горизонт, поэтому формально это все же ночь. Но горизонт никогда не темнеет окончательно, поэтому довольно светло - эдакие вечерние сумерки всю ночь.

Полярный день может быть 6 месяцев, а Питерская белая ночь по ходу короче будет))

Я летом в Москве-то спать не могу, никак не дождусь, когда стемнеет.

Формально нет, граница этого дела - полярный круг.
Но у нас в Спб уже светло ночью.

Белые ночи - это когда всю ночь продолжаются гражданские сумерки (т. е. Солнце погружается под горизонт не больше, чем на 6 градусов). Считается, что в гражданские сумерки не требуется включать уличное освещение.
Для удобства в качестве границы зоны белых ночей принимается 60-я широта. Поэтому, в Санкт-Петербурге, вообще-то белых ночей нет! Широта Санкт-Петербурга чуть меньше 60 градусов. А самые продолжительные гражданское сумерки, которые длятся примерно по две недели, случаются на полюсах перед началом полярного дня и после его завершения. Но эти периоды не считаются белыми ночами, так как ночь (в том числе белая) наступает после дня, а после ночи снова должен начаться день. На полюсах же всё происходит во время смены дня и ночи.
А вот полярный день - это когда Солнце даже в самой нижней точке своего суточного пути по небу не заходит под горизонт. Такое возможно на широтах от полярного круга до полюса. На полярном круге в день летнего солнцестояния (около 21-го июня) Солнце, опускаясь, только касается горизонта и тут же снова начинает подниматься. Чем ближе к полюсу - тем продолжительнее полярный день. На самих полюсах он длится половину года (на самом деле - на несколько дней дольше - в этом виновата рефракция).

Полярный день в Воркуте, когда там летом Солнце по кругу ходит. Белые ночи это когда ночью солнечные лучи подсвечивают облака, не попадая на землю и создается такое явление. В зависимости от наличия разных облаков на разной высоте, белые ночи разные.