Помогите понять что такое дифференциал. По сути

В книге "Сияние Нуля" это хорошо объяснено.

Дифференциал - это мгновенная скорость возрастания функции в некоторой точке. А запись dy/dx - это просто сокращение от

 df(x)=lim (f(x+dx)-f(x))/dx

      dx->0  

Отсюда и свойства дифференциала. Если он положительный - функция возрастает, если нулевой - значит у нас либо некий экстеремум, либо функция-константа. Как только начнешь думать о дифференциале в таком ключе, все станет понятно.
Ну и численно он равен тангенсу угла касательной, проведенной к функции в данной точке. Отсюда его связь с касательными и асимптотами.

В смысле - откуда выводится? Это её определение - отношение малых приращений. Это то, что названо дифференциалом изначально.

.

Из опредкления это следует производная это отношение приращения функции к приращению аогумента. Это предел f(x+δx)/(x+δx), при δx стремящимся к нулю.
Букавка дельта перед икс означет изменение переменной икс.
Пределы раньше учили по высшкй математиуе на первом курсе института.
Есть другой смымл производной геометрический это тангенс угла наклона касательной к графику функции.
Ну вот у тебя функция y=x
В точке (5,5) функция приросла на 5 единиц по ветикали и на 5 единиц в горизонте 5/5=1 а так у прямой y=a*x+b как раз тангенс угла налона и есть переменная α. У нас прямая делит угол попалам то есть 45градусов ее угол наклона Синус(45)=кос(45) -> тангенс(45)=1

Дифференциал - малое (стремящееся к нулю) приращение, изменение. В этом его суть, и не надо тут ничего изобретать.

Ньютон сначала шифровали свою формулу в настоящем виде..При дх стремящемся к нулю обязательно тогда отношение стремится к у/х или тангенсу что одно и то же. И размерность другая! Скорость.

Приращение - это конкретное приращение. Например, скорость изменилась с 12 до 47. Приращение будет 35.
Надеюсь, это понятно.
Дальше, если измерять очень малые изменения, то мы можем получить, скажем, 0.004. А время за это время изменилось на 0.002. Это (почти) дифференциалы.
Если поделить, то получится 2. Это НЕ приращение, это ПРАВИЛО (функция). Оно говорит, что если время изменится на х, то скорость изменится на 2х.
Тоже просто.
Это производная. Она тут равна 2.
И это не свойство, это определение производной.

Дифференциал заданной функции в заданной точке является линейной функцией приращения аргумента (более того, прямой пропорциональностью).

А что с ним делать далее, сам смотри.
Например, дифференциал в заданной точке на заданному приращении линейно зависит от функции.
Дифференциал заданной функции на заданном приращении - функция точки, которую удобно бывает дифференцировать дальше. Ну и т.д.

отношение dy/dx отличается от производной на бесконечно малую величину, которая зависит от dx, но которая стремится к нулю быстрее чем сама dx