Почему обратная матрица не существует, когда определитель исходной матрицы равен нулю?

Если рассматривать матрицу как отображение линейного пространства на себя, то обратная матрица - это обратное отображение. Если детерминант матрицы равен нулю, то ее строки - линейнозависимы. Это значит, что некоторые части образа преобразования имеют несколько прообразов (некоторые точки отображаются в одну и ту же). В таком случае обратное преобразование - неоднозначно, и не может быть задано в виде матрицы.

По той же причине, почему не существует число обратное нулю.

Все числа, кроме нуля, имеют обратные числа. Например, число 2 имеет обратное число 1/2, а число 1/3 имеет обратное число 3. И только 0 не имеет обратного числа 1/0.

При этом все числа можно считать матрицами 1х1. Значит, матрица [0], это вырожденная матрица, которая имеет определитель 0 и значит, не имеет обратной матрицы.

Давайте посмотрим, чем принципиально отличается матрица [0] от, например, матрицы [5].

Если мы возьмем одномерное пространство (вещественную ось), и подействуем на все точки этого 1-мерного пространства этими двумя матрицами, то получим очень-очень разный результат.

Матрица [5] просто растягивает эту 1-мерную ось в 5 раз относительно её неподвижной точки 0. То есть мы умножаем все числа вещественной оси на число 5. Матрица [1/4], аналогично, сжимает вещественную ось в 4 раза к её неподвижной точке 0. То есть, одномерное пространство как было, так и остается одномерным пространством, и ось вещественных чисел остается осью вещественных чисел.

А вот если на это одномерное пространство подействовать матрицей [0] (то есть умножить все числа на ноль), то размерность пространства снизится на 1 и станет 0-мерным. Наше одномерное пространство схлопнулось в одну точку. И вот это 0-мерное пространство уже никак нельзя однозначно преобразовать обратно в одномерное пространство. Нельзя 0 умножить на что-то такое, чтобы в результате получилось не одно число, а все числа одновременно.
Поэтому умножение любого числа на ноль хорошо определено, а обратная операция 0/0 не определена. Если а*0=0 и b*0=0, то 0/0 дает а или b? (Если все дороги ведут в Рим, то как пойти одновременно по всем дорогам, чтобы одновременно вернуться и в Милан и в Неаполь?)

Так вот, если вы возьмете теперь вырожденные матрицы размером 2х2, то вы увидите, что эти матрицы преобразуют 2-мерную плоскость или в точку или в прямую. То есть понижают размерность 2 до 1 или до 0. А нормальные невырожденные матрицы преобразуют 2-мерную плоскость в 2-мерную плоскость.

То же самое и с матрицами 3х3. Невырожденные матрицы 3-мерное пространство оставляют 3-мерным. А вырожденные матрицы коллапсируют 3-мерное пространство или в 2-мерную плоскость, или в 1-мерную прямую или в 0-мерную точку.

Таким образом, вырожденные матрицы, это многомерные нули, это нули в мире большого числа измерений.

Эти многомерные нули всегда уменьшают размерность пространства. И эта операция однозначно задается видом вырожденной матрицы. А вот обратная операция расширения пространства меньшей размерности в пространство большей размерности не является определенной, так как каждая точка пространства меньшей размерности должна перейти в бесконечное число точек пространства большей размерности. А матрицы могут одну точку перевести только в одну точку, но никак не в 2 и не в бесконечное число точек.

А определитель матрицы, это всего лишь удобный индикатор этих многомерных нулей, который показывает, будет ли матрица снижать размерность своего пространства или не будет.

Потому же, почему число не может иметь знака, если оно равно нулю.

Потому что для нахождения обратной матрицы необходимо делить алгебраические дополнения на определитель, который равен нулю.

Если определитель исходной матрицы равен нулю, это означает, что матрица вырождена или необратима. Так получается, что обратная матрица не существует*

*Данное сообщение (материал) создано и (или) распространено иностранным средством массовой информации, выполняющим функции иностранного агента, и (или) российским юридическим лицом, выполняющим функции иностранного агента.

Может потому что такая матрица будет представлять собой лишь одно число? Ведь определитель задает ее размерность (насколько я помню, а я учился на программиста почти 4 года назад, так что мог забыть).