Математика _ как решить такую задачу?

Попарноразличные можно и нужно упорядочить по возрастанию.
Затем раскрыть произведение. Здесь неудобно иероглифы формул писать.
Каждый k-ый член суммы будет иметь вид: сумма(i=1..k-1, x_i/x_k)+1+сумма(i=k+1..N, x_i/x_k) > 1+N-k.
А дальше сумма арифм прогрессии и примерно извл кв корня. или сравнить квадрат 3034 с суммой.

вообще тут напрашивается как-то применить неравенство Коши (неравенство о средних), но у меня с ним чего-то нифига не получилось. получилось так:

во-первых, заметим, что последовательность x1...xn определена с точностью до умножения на положительное число.
то есть, w*x1...w*xn будет обладать точно тем же свойством.

во-вторых, последовательность an строго возрастающая. действительно:
an^2 = (x1+...+xn)(1/x1 + ... + 1/xn) =
(x1+...x_{n-1})(1/x1 + ... + 1/x_{n-1}) + (xn/x1 + x1/xn) + ... + (xn/x_{n-1} + x_{n-1}/xn) + 1 =
(a_{n-1})^2 + ... + 1 > (a_{n-1})^2

обозначим для удобства: un = x1+...+xn, vn = 1/x1 + ... + 1/xn. то есть, un * vn = an^2.

пусть мы нашли некую последовательность x1...xn такую, что an - целое число, обозначим его N.
значит, а_{n+1} >= N+1.
попробуем подобрать такое x_{n+1} = x, что выполняется точное равенство: а_{n+1} = N+1.
для этого попробуем решить уравнение:
(N+1)^2 = (un + x) * (vn + 1/x)
(N+1)^2 = un * vn + un/x + vn * x + 1
vn * x^2 - 2N * x + un = 0
x^2 - 2sqrt(un/vn) * x + un/vn = 0
получили единственный корень:
x = sqrt(un/vn)

теперь посмотрим, как на этом этапе изменятся un и vn:
u_{n+1} = un + sqrt(un/vn) = un * (1 + 1/sqrt(un * vn))
v_{n+1} = vn + sqrt(vn/un) = vn * (1 + 1/sqrt(un * vn))
их отношение осталось тем же.

отсюда видно, что второй раз такой трюк провернуть не удастся.
не получится подобрать такое x_{n+2}, чтобы а_{n+2} = N+2, поскольку в этом случае окажется x_{n+2} = x_{n+1}.

следовательно при переходе n+1->n+2 может в лучшем случае быть а_{n+2} = а_{n+1} + 2
а всего за два перехода n->n+2:
а_{n+2} = аn + 3

учитывая, что a1 = 1, получаем: a2023 >= a1 + 3 * 2022 / 2 = 1 + 3 * 2022 / 2 = 3034

Оно 8 может быть..