Мог ли учитель в древнем Китае дослужиться до советника? (например правителя)

Мог.
Сдаёшь хорошо экзамены и дело в шляпе.
Прекрасная система была.

Когда первые европейские миссионеры приехали в Китай, они были под большим впечатлением от процветающей меритократии, тогда как на их родине коррумпированная система личной протекции была единственным способом получения высокопоставленной должности.

В Древнем Китае кандидат на государственный пост должен был доказать свое профессиональное преимущество и мастерство на публичных экзаменах.

При этом положение и достаток никак не влияли на возможность занять пост. Открытая и справедливая аттестация настолько впечатлила европейцев, что достаточно скоро эти идеи стали пропагандироваться и в Европе.

Источник:

https://mychinaexpert.ru/chinovniki-drevnego-kitaya/

Нет. Он должен быть из сильного, известно рода.

Теоретически, если верить востоковедам вроде Дмитриева или Башкеева, мог. При определённых обстоятельствах в определённые времена. На портале Михаила Родина есть много хороших роликов на различные исторические темы. Рекомендую.

Дослужиться вряд ли. Чжугэ Лян например, стал первым советником и получил титул воинственного хоу (выше просто ничего не было) без всякой службы.

В древнем Китае в учителя не пускали абы кого.
С другой стороны учителями называли совсем не тех, кого сейчас считают учителями.
Одно дело учить всяких богатеньких митрофанушек грамоте, и совсем другое слыть мудрецом и мастером своего дела, имея при том толпу учеников и последователей. Такими, как правило, и были богатые аристократы, у которых были деньги на собственное обучение.