Помогите мне разобраться по этому вопросу о налогах

Нет, с момента регистрации авто в МРЭО на нового собственника (покупателя) транспортный налог ему не начисляется !
Другое дело, если покупатель "не спешит" регить авто на себя, как это часто бывает... Тогда - прекращать регистрацию, а с уже начисленными налогами решать вопрос в налоговой инспекции.

1. Налог начисляется за прошедший календарный год, т. е. в этом году налог будет начислен за 2016 год. Проще говоря, если вы продали машину, допустим, в июне 2017г, то в этом году вы будете обязаны оплатить налог за весь 2016 год, а в 2018 году - за 6 месяцев 2017 года.
2. Согласно п. 1 ст. 362 НК, сумма налога, подлежащая уплате налогоплательщиками - физическими лицами, исчисляется налоговыми органами на основании сведений, которые представляются в налоговые органы органами, осуществляющими государственную регистрацию транспортных средств на территории Российской Федерации.
Проще говоря, основанием для прекращения начисления налога служит только прекращение регистрации автомобиля. на ваше имя в ГИБДД. Никакие другие действия или обращения в налоговую не помогут.
Для того, чтобы прекратить регистрацию автомобиля на ваше имя, нужно чтобы новый собственник зарегистрировал авто уже на себя. Но можно также самостоятельно обратиться в ГИБДД с соответствующим заявлением.

Да, пока не будет прекращена регистрация на ФИО прежнего собственника

если продал со сменой владельца - ТО НЕТ!

Нет. Сведения в налоговой для того и существуют.

Да