Можно ли поставить авто на учёт с мятым крылом?

Нет.. даже нельзя с ломанным бампером и трещиной на стекле, если нет знакомого гаишника

VIN-номера все целые, следов их корректировки нет если, то поставят.
Про лобовое-да, к такому могут придраться, но если трещина большая и перекрывает обзор (это к 1 ответу)

если на вашем крыле нет свежей крови, то без проблем.

Зависит от ГАИ, у нас в одном тоже придираются к тех состоянию не ставят на учёт, зато проехав десяток км до соседнего города там ставят любую рухлядь без вопросов

С первого января этого года просят действующую диагностическую карту при регистрации.

на учёт ставят по номеру кузова, можешь хоть один кузов с номером туда притянуть - поставят !

Авто отстояло зиму под снегом, купил весной, на отражатели фары была ржавчина с рубль размером - завернули... поменял отражатель за 800 р, поставили на учет

Нет.

Можно. взятку хотят и придираются
даже к трещине на лобовом или фаре...

все зависит от региона, в свердловской области например очень строго с этим, мне не поставили из за отстутствующего амморта капота и перегоревшей противотуманки, при осмотре проверяют ремни, сигнал, в старых бмв особо наглые гайцы лезут проверять пробег и вин в настройках приборки зачем то, в магнитогорске например с этим проще, в башкирии мне говорили что даже номер мотора не смотрят

поставят, всё зависит от инспектора