Подскажите пожалуйста. должен ли составляться договор?

Начнём с того КАКОЙ У ВАС ДОГОВОР?
Гражданско - правовой или ТРУДОВОЙ ???
это раз.
Во-вторых, договор в ЛЮБОМ случае заключается в день принятия на работу в 2-х экземплярах. Один из них У ВАС должен быть на руках.
Далее - Если исходить из того, что всё же у Вас ТРУДОВОЙ ДОГОВОР должен быть, то понятия СТАЖИРОВКА - к Вам вообще не относится.
Есть испытательный срок от.. . до 3-х месяцев. И этот срок ОПЛАЧИВАЕТСЯ!! ! причём не ниже среднего заработка.
....
В ТК РФ есть понятие как УЧЕНИЧЕСКИЙ договор.
Статья 198. Ученический договор
Работодатель - юридическое лицо (организация) имеет право заключать с лицом, ищущим работу, ученический договор на профессиональное обучение, а с работником данной организации - ученический договор на профессиональное обучение или переобучение без отрыва или с отрывом от работы.
Ученический договор с работником данной организации является дополнительным к трудовому договору.

Статья 199. Содержание ученического договора
Ученический договор должен содержать: наименование сторон; указание на конкретную профессию, специальность, квалификацию, приобретаемую учеником; обязанность работодателя обеспечить работнику возможность обучения в соответствии с ученическим договором; обязанность работника пройти обучение и в соответствии с полученной профессией, специальностью, квалификацией проработать по трудовому договору с работодателем в течение срока, установленного в ученическом договоре; срок ученичества; размер оплаты в период ученичества.
Ученический договор может содержать иные условия, определенные соглашением сторон.

Статья 200. Срок и форма ученического договора
Ученический договор заключается на срок, необходимый для обучения данной профессии, специальности, квалификации.
Ученический договор заключается в письменной форме в двух экземплярах.

Статья 203. Время ученичества
Время ученичества в течение недели не должно превышать нормы рабочего времени, установленной для работников соответствующих возраста, профессии, специальности при выполнении соответствующих работ.
Работники, проходящие обучение в организации, по соглашению с работодателем могут полностью освобождаться от работы по трудовому договору либо выполнять эту работу на условиях неполного рабочего времени.
В период действия ученического договора работники не могут привлекаться к сверхурочным работам, направляться в служебные командировки, не связанные с ученичеством.

Статья 204. Оплата ученичества
Ученикам в период ученичества выплачивается стипендия, размер которой определяется ученическим договором и зависит от получаемой профессии, специальности, квалификации, но не может быть ниже установленного федеральным законом минимального размера оплаты труда.
Работа, выполняемая учеником на практических занятиях, оплачивается по установленным расценкам.

Статья 205. Распространение на учеников трудового законодательства
На учеников распространяется трудовое законодательство, включая законодательство об охране труда.

Статья 206. Недействительность условий ученического договора
Условия ученического договора, противоречащие настоящему Кодексу, коллективному договору, соглашениям, являются недействительными и не применяются.
Статья 207. Права и обязанности учеников по окончании ученичества
Лицам, успешно завершившим ученичество, при заключении трудового договора с работодателем, по договору с которым они проходили обучение, испытательный срок не устанавливается.

В случае, если ученик по окончании ученичества без уважительных причин не выполняет свои обязательства по договору, в том числе не приступает к работе, он по требованию работодателя возвращает ему полученную за время ученичества стипендию, а также возмещает другие понесенные работодателем расходы в связи с ученичеством.

Статья 208. Основания прекращения ученического договора
Ученический договор прекращается по окончании срока обучения или по основаниям, предусмотренным этим договором.

Стажировка - это определённый режим работы, он обусловлен только упрощённой процедурой ратсоржения договра, по вашей ли инициативе или работодателя. При этом обязательна заключается трудовой договор и выпускается приказ о зачислении Вас в штат.

Статья 57 ТК устанавливает что должно быть в договоре. http://ozpp.ru/zknd/trud/trud_2035.html