...Что роднит город Брест во Франции с Брестской крепостью в Беларуссии? Название или что то другое?

Про Белоруссию.
Древнее название Бреста — Бе́рестье Город впервые упоминается в «Повести временных лет» под 1019 годом в связи с борьбой князя туровского и великого киевского Святополка Владимировича с его братом, в то время новгородским князем Ярославом Мудрым за великокняжеский киевский престол. Название происходит, скорее всего, от слова «берест» (вид вяза) или от «береста» (наружный слой коры берёзы) В 1863 году путешественником Павлом Шпилевским была записана легенда о происхождении названия Бреста, связанная с путешествием в Литву одного богатого купца со своими товарищами. Неожиданно дорогу преградило болото, вокруг которого росло много берёз. Они срубили деревья и по берёзовому настилу смогли пройти топь. Вышли они к острову, который был образован большой рекой и маленькой речкой, впадающей в неё. За то, что всё прошло удачно, купец решил отблагодарить языческого бога Велеса и построил на острове капище. Через некоторое время, возвращаясь из Литвы, где была удачная торговля, купец и его товарищи опять остановились у Велесова капища, построили избы и основали город, который назвали Берестье.
В летописях XII—XIII веков встречается также название Берестий, в исторических документах XVI века — Бе́ресть (это название бытовало у жителей окрестностей города до недавнего времени) . В XVII — начале XX века город назывался Брест-Литовск, в 1921—1939 годах — Брест-над-Бугом, с сентября 1939 года — Брест.

Про Францию.
Хотя город и старинного происхождения, Брест получает важное значение лишь с XVII столетия. Уже в начале франкского господства здесь стоял древний замок, по всей вероятности, римской постройки. В XI в. замок этот был сильно укреплен герцогом бретанским; позже городом на долгое время завладели англичане, пока, наконец, он опять не перешёл к герцогам бретанским. Но значение своё Брест получает лишь с тех пор, как кардинал Ришелье в 1631 г. велел расчистить и укрепить гавань и построить арсенал и верфь для военных кораблей. Министр Кольбер, заменивший деревянную верфь каменной, возвёл в Бресте военную гавань, которая, по приказанию Людовика XIV, была в 1680—1688 гг. сильно укреплена Вобаном, так что англичанам, которые в 1694 хотели захватить его, пришлось отступить со значительными потерями.
Во время Французской революции на брестском рейде 1 июня 1794 г. французский флот под начальством Вилларе-Жуайеза был разбит англичанами под начальством Гоу (Howe). Шесть линейных кораблей были взяты англичанами, а седьмой был затоплен.
В июне 1940 года 5-я танковая дивизия Вермахта оккупировала порт Брест. В годы Второй мировой войны нацистские войска создали в Бресте крупную базу подводных лодок (1-я флотилия «Веддиген» и 9-я флотилия подводных лодок) . В январе 1941 года начался процесс сооружения мощных бетонных крытых доков-бункеров для обслуживания и ремонта подводных лодок. Строительством занималась Организация Тодта, бункеры были построены за 9 месяцев. Схема объекта предполагала расположение двух бункеров под общей крышей. В первом из них находилось пять «мокрых» доков длиной 115 м и шириной 17 м (от «А» до «Е») , на три лодки каждый; во втором было восемь сухих доков длиной 99 м и шириной 11 м, и еще два (длиной 114 м и шириной 13 м) (от № 1 до № 10), рассчитанных на одну лодку. Общая длина бункера составляла 333 м, ширина 192 м, высота 17 м, толщина крыши 6 м. После высадки в Нормандии в июне 1944 года союзные войска быстро продвигались, и возникла серьезная угроза для бункеров в Бресте. Последней отсюда 4 сентября вышла U-256 под командованием корветтен-капитана Генриха Леманна-Вилленброка.
Бункер существует в настоящее время. В ходе освобождения Франции от гитлеровцев город был сильно разрушен, после войны отстроен заново.

ничего, кроме названия.

Город Брест во Франции и в Белоруссии
Это совершено разные города. Читайте в Википедии
http://ru.wikipedia.org/wiki/Брест (Франция)
http://ru.wikipedia.org/wiki/Брестская_крепость