Подскажите, кто знает, есть ли поезд или др. транспорт из Великого Новгорода в Петрозаводск не ночью?

Поезд - единственный.
В Бологое можно уехать вечером - так пересадка получится среди ночи.
Можно ехать через Ленинград - утром выезжаете, в 14 часов прибываете, поезд на Петрозаводск (с другого вокзала! ) будет после 17 часов (вот расписание) , в Петрозаводск прибудете за полночь.
Сравнительно приемлемый вариант - с пересадкой в Малой Вишере: в 17-50 из Великого Новгорода, через два часа вы в Малой Вишере, там ждёте полчаса (дай Бог, чтобы в пути не вышло задержки, а то застрянете! ) и садитесь на поезд Новороссийск-Мурманск (только можно ли на него купить билет-то заранее, он же проходящий! ) и в 4-30 утра вы на месте.. .

Яко бы есть прямой автобус Новгород-Петрозаводск по субботам, отправление в 11-00, в пути не то 8, не то 10,5 часов. Я бы на месте Вашего ребёнка такое путешествие не выдержал.. .
Аэропорт (Юрьево) у вас закрыли, новый (в Кречевицах) обещают открыть в текущем году - наши нынешние власти обещать умеют...

Сказали бы дату. Совсем бы было хорошо.
Садитесь на электричку до Обухово в 17:00. Переходите на станцию метро "Обухово" доезжаете до "Ладожской" и на поезд №658 Санкт-Петербург - Петрозаводск. О билетах позаботьтесь заранее. Плацкартный от 567 рублей. В Петрозаводск поезд прибывает утром и городской транспорт к этому времени уже будет работать.
Доехать от станции метро "Обухово" до Ладожского вокзала у вас будет 1,5 часа времени и этого вполне достаточно.