Есть ли бесплатные базы данных регионов всех городов, ну или хотя-бы городов Европы.

Почтовые индексы. Ищете в поисковике по по данному сочетанию плюс название страны, плюс название города.
Иногда понятие "район" отсутствует.
В некоторых странах бывают коммуны (как территориальное образование).
В "Европе", если вы имеете в виду ЕС, 28 стран, а если имейте в виду континент, то и больше. Поэтому вначале определитесь какая страна интересует, и после этого начинаите поиски. Вовсе не обязательно наличие такого сайта на английском. Удачи!

В России каждое муниципальное образование имеет свой сайт, там вся информация.
Например, Московская область - в ней муниципальные районы и городские округа, перечень есть.
Заходите на сайт каждого района или городского округа - читаете, какие внутри есть районы и микрорайоны.

в каком регионе находится город узнать просто - прочитать информацию об этом городе.
деление городов на районы - на сайте мерии есть планы города.
заходишь на сайт интересующего города и смотришь карту и план города и деление города по районам.
например: http://www.merida.es/descargas/urbanismo/plano-merida-zonas.pdf

Надо какой-нибудь API использовать.
Например через API отелей Travelpayouts можно собрать названия локаций стран.
В качстве локации там либо город, либо населённый пункт, иногда район крупного города. Правда там нет конкретно деления городов на районы.
Но вот города, деревни и населённые пункты Европы или како-то страны можно собрать. Придётся прогу написать чтобы в базу данных инфу сливать. Всего там по-моему 85 тыс локаций по всему миру.
Может что-то похожее в Гугле есть в АПИ гугл карт.
Или как вариант (не совсем беслптно) заказать такой сбор у фрилансера на Kwork там есть сборщики данных, скорее всего можно кого-то найти для этой темы за 500 руб.