можно ли все время держать батарею в ноутбуке, если он также включен в разетку?

Можно. Муж моей дочки так и поступает, а он крутой программист.

Можно. Батарея будет всегда заряжена. А если у вас наблюдается нестабильность питания, то батарея поможет вам сохранить данные при внезапном отключении света.

можно и нужно, в батарее встроен чип от перезарядки...

Как сохранить батарею для ноутбука в рабочем состоянии на максимально возможное время?
1. Если Вы не планируете использовать ноутбук продолжительное время (неделя или больше) , то лучше всего хранить батарею отдельно от ноутбука.
2. Не подвергайте свой ноутбук воздействию экстремально горячих или холодных температур. Не оставляйте ноутбук или батарею от него летом в машине - горячая батарея разряжается очень быстро. Это же касается и зимнего периода - холодная батарея не может создать достаточно энергии.
3. Убедитесь, что шнур питания от зарядного устройства ноутбука включен в ИБП (источник бесперебойного питания) , а не напрямую - в розетку или сетевой фильтр.
4. Полностью зарядите и разрядите новую батарею несколько раз - это как бы "разгонит" ее и позволит использовать с максимальной эффективностью.
5. Батареям ноутбуков, которые служат как замена настольному ПК, необходимо устраивать профилактику раз в 3-4 недели обязательно. Полностью разряжать и заряжать ее.
6. Не желательно оставлять батарею в ноутбуке, который долгое время подключен к электрической сети. Это приводит к тому, что батарея остается в избыточно-заряженном состоянии, что в свою очередь приводит к уменьшению циклов жизни батареи ноутбука.

Следует соблюдать циклы зарядки-разрядки. Желательно полностью разряжать батарею и полностью заряжать её хотя бы раз в месяц. Если же компьютер постоянно включен в розетку (т. е. заряжается батарея), а разрядки нет совсем, то такой режим ведёт к потере её ёмкости и в конечном счёте, к выходу из строя.

Можно, но всёже хотябы раз в месяц её нужно разрядить, т. е. чтобы ноут от неё поработал до разряда.

да, можно.