Как работает прокси-сервер?.

"Что и где эта программа, которая заставляет обращаться к прокси серверу?"
Да никакая. Это или на уровне системы весь трафик туда заворачивается или на уровне ПО.

Он работает как посредник. Ваш комп посит его зайти на сайт, он заходит и передаёт содержимое вашему компу. Если при отключении прокси интернет пропадает, значит провайдер запретил прямой выход в интернет. Бороться можно только сменой провайдера или руганью с существующим. Если комп на работе - ставьте бутылку сисадмину и просите прямой доступ.

Это промежуточный сервер между клиентом и конечным узлом, используется для передачи трафика. Таким образом конечный узел выдает ip адрес конечного сервера а не реальный адрес клиента. Если на примерах применения то: его можно использовать для анонимного песещения ресурсов или обхода блокировок со стороны сайтов. Вообще их много видов существует: HTTP прокс (используются для серфинга), анонимные прокси (так узнать айпи не получится), элитные (обеспиечивает высочайший уровень анонимности, не отправляя заголовков HTTP) и многие другие. У меня не хватит тут места чтобы все описать, потому что инфы много проще вам самим поискать. Я сама пользуюсь для определенных целей анонимные прокси серверы https://proxys.io/ru там можно подобрать адрес под разные задачи и с высокой скоростью. Таким образом я работаю круглые сутки через него без сбоев. Вот как то так. Можете сами попробовать, а там и посмотрите как он работает. Ведь лучший способ узнать как что работает - самому попробовать)