Можно ли сделать йогурт из фрагмента предыдущего живого йогурта?

можно. только не в тепле оставляйте, а в холодильнике. чтобы избежать раложения животных протеинов и развития болезнетворых бактерий в процессе разложения.
в холодильнике будет дольше но безопаснее

Так и делают Добавляют немного в молоко и в теплое место

Ошибка думать, что при добавлении в молоко магазинного йогурта, на выходе вы получите йогурт с живыми полезными бактериями. Через некоторое время созреет простой кисломолочный напиток, не имеющих таких целебных свойств как у йогурта. Дело в том, что полезные бактерии в йогуртах, купленных в магазине, быстро теряют свою активность после того, как продукт распакован.
Когда вы кипятите молоко, то некоторые очень ценные его вещества, например сывороточные белки, теряются. А на комбинатах используется кратковременная высокотемпературная пастеризация, и за это время разрушения полезных белков и витаминов не происходит.
· Готовя йогурт самостоятельно, вы, скорее всего, используете обычное молоко, а на заводах йогурт производится из специально подготовленной молочной основы с повышенным содержанием белка, кальция, калия и фосфора. Там либо специально сгущают молочную основу, либо добавляют в нее определенное количество сухого обезжиренного молока, рассчитанное технологами.
· Учтите, что в домашних условиях невозможно обеспечить полную стерильность процесса изготовления. Закваску легко загрязнить и вместо полезного для здоровья продукта вы рискуете получить размножившиеся в молоке опасные бактерии.

Йогуртом может считаться молочная смесь с микробиологическими показателями:
Количество молочнокислых микроорганизмов (Str. thermophylus и Lactobacterium bulgaricum), в 1 г продукта на конец срока годности продукта, КОЕ, не менее 10 в седьмой степени
Количество бифидобактерий (Bifidobacterium), в 1 г продукта на конец срока годности продукта, КОЕ, не менее 10 в шестой степени
Количество бактерий молочнокислой ацидофильной палочки (Lactobacillus acidophilus), в 1 г продукта на конец срока годности продукта, КОЕ, не менее 10 в шестой степени.

Обеспечить такие характеристики может только добавление в молоко аптечной или специальной производственной закваски, а не купленных йогуртов.
Так что не стоит заблуждаться в отношении особой полезности домашних йогуртов, приготовленных сквашиванием молока магазинными йогуртами.

Кстати: Болгарский комитет по стандартизации и метрологии в Министерстве здравоохранения запретил продуктам компании Данон называться йогуртами

«К сожалению, действующие схемы оценки качества пищевых продуктов не предусматривают оценки их микробиологического состава на предмет жизнеспособности бактериальных культур, — заявила корреспонденту «Reuters» доктор Бергман. — Поэтому производители вводят бактерии в пищевые продукты или биодобавки, но не заботятся о сохранении их полезных свойств на пути от фабрики к потребителю. » (Источник - Медицинский Вестник)

нельзя. В йогурте есть не только полезная микрофлора, но и очень даже не нужная. И при температуре йогуртницы (37 град) разовьются скорее ненужные. А узнаете вы о том, какие были бактерии только в больнице с тяжелой токсикоинфекцией.
Хотите сделать йогурт- используйте специальные закваски.
А йогурты из остатков продуктов зачастую бывают ОЧЕНЬ опасными.
Вы же не знаете, что именно сформировало сгусток!
Но и, например, кишечная палочка создает прекрасные сгустки с хорошим вкусным запахом и неплохим вкусом. Только есть это нельзя.

Можно, конечно. Но вам может не понравиться его вкус. Получится по вкусу другой, чем на закваске. Нам не понравилось.

Получится, если ваш йогурт действительно натуральный. Если есть сомнения, даже не пробуйте.