Помогите решить пример. Все перепробовал - не получается.

Ну давай попробуем разобраться не спеша.
1. Число нечетное, значит при делении на 2 в остатке будет 1.
2. На три делятся числа, сумма цифр которых делится на 3. У нас сумма 37. Значит в остатке тоже будет 1
3. Чтобы узнать остаток при делении на 4, достаточно разделить число, состоящее из двух последних цифр, так как сотни делятся без остатка. У нас 27 при делении на 4 дает в остатке 3.
4. На 5 аналогично п. 3, но достаточно взять последнюю цифру. 7 делим на 5 - в остатке 2.
5. На 8 тоже аналогично п. 3, на надо взять три последние цифры. 427 делим на 8 - в остатке 3
6. На 9 аналогично п. 2, но сумма цифр должна делиться на 9. У нас, как мы уже знаем, сумма цифр 37 - в остатке 1.
7. И наконец на 11. Здесь посложнее. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11. Для нашего случая это выглядит так 7 - 2 + 4 - 1 + 5 - 8 + 7 - 3 = 9. Это и есть остаток при делении на 11
Итого: 1 + 1 + 3 + 2 + 3 + 1 + 9 = 20
Может я где-нибудь ошибся в расчетах, ты меня поправишь. Но алгоритм решения я тебе объяснил!

У меня получилось: 1+1+3+2+3+1+9=
У Николая при делении на 5 остаток 3! Должен быть 2! ( Прекрасно! Николай исправил! Значить, была опечатка!)

А просто выполнить 7 раз деление и один раз сложение не пробовал?

Остаток от деления 37851427 на 11 такой же как и у -3+7-8+5-1+4-2+7=9
Остаток от деления 37851427 на 9 такой же как и у 3+7+8+5+1+4+2+7=37 (т. е. остаток равен 1)
Остаток от деления 37851427 на 8 такой же как и у 427 (т. е. остаток равен 3)
Остаток от деления 37851427 на 5 такой же как и у 8 (т. е. остаток равен 2)
Остаток от деления 37851427 на 4 такой же как и у 27 (т. е. остаток равен 3)
Остаток от деления 37851427 на 3 такой же как и у 3+7+8+5+1+4+2+7=37 (т. е. остаток равен 1)
Остаток от деления 37851427 на 2 равен 1
Итого: 9+1+3+2+3+1+1=20