Вписанный четырехугольник. Для любителей геометрии.

Обозначим исходный четырёхугольник KLMN,
A ∈ KL, B ∈ LM, C ∈ MN, D ∈ NA.

Четырёхугольники ALBP, BMCP, CNDP, DKAP вписанные, так как имеют по два прямых угла при противоположных вершинах.

По теореме о вписанном угле ∠ABP = ∠ALP (из ALBP) = ∠KLN = ∠KMN (из KLMN) = ∠PMC = ∠PBC (из BMCP). Значит, BP — биссектриса угла четырёхугольника ABCD. Аналогично показывается, что AP, CP и DP — биссектрисы. Следовательно, в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность (с центром P). Поэтому AB+CD = BC+AD и AD = AB+CD−BC = 3+6−4 = 5.

∠ABC + ∠ADC = 2∠ABP + 2∠ADP = 2∠ALP + 2∠AKP = 180°.

Значит, ABCD — не только описанный четырёхугольник, но ещё и вписанный. Обозначим ∠ABC = β, тогда ∠ADC = 180°−β. По теореме косинусов для △ABC и △ADC:

AC² = AB² + BC² − 2 AB · BC cos β,
AC² = 9 + 16 − 24 cos β, (1)

AC² = AD² + DC² − 2 AD · DC cos (180−β),
AC² = 25 + 36 + 60 cos β. (2)

Домножаем (1) на 5, (2) на 2 и складываем:

7AC² = 5·25 + 2·61 = 247,
AC = √(247/7).

По теореме Птолемея AC·BD = AB·CD + BC·AD, значит,

BD = (3·6 + 4·5)/√(247/7) = 38/√(19·13/7) = 2√(19·7/13) = 2√(133/13).

мей би
AD=4; AC=BD=5.83