Чему будет равно ОДЗ 1/2*x^2+x=0? Пробовал выносить x за скобки, то есть: x (1/2x+1) = 0, получалось -2. Верно?

Если x^2 расположен не в знаменателе, то корни х1=0, х2=-2. Но ведь нужно найти не корни, а область допустимых значений неизвестного, т. е. те значения х, при которых уравнение имеет смысл. В данном случае - это все действительные числа, т. е. вся числовая ось.
В уравнениях с неизвестным в знаменателе ОДЗ - является все множество действительных чисел, за исключением тех, при которых знаменатель обращается в 0. Знаменатель не может быть равным 0.
Если встречаются уравнения иррациональные, т. е. с квадратным корнем, то в этом случае ОДЗ ограничивается теми значениями неизвестного, которые подкоренное выражение обращают в отрицательное число, т. е. подкоренное выражение может быть больше или равным 0.

Почти верно. Один корень потерялся.

1/2 х^2 + x = 0
x ( 1/2 x + 1 ) = 0

Произведение равно нулю когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Следовательно, чтобы найти все корни нужно приравнять к нулю оба сомножителя.

1) x = 0

2) 1/2 x + 1 = 0
x = -2

Решайте квадратное уравнение. Ищите дискриминант

Заменатель дроби не должен быть равен нулю. То есть, x (1/2x+1) не равно 0. Следовательно, х не равен нулю и х не равен -2. ОДЗ получается такой: (-оо; -2) v (-2; 0) v (0; +оо)