Как правильно писать?

С маленькой.
ИМЕНА ПРИЛАГАТЕЛЬНЫЕ И НАРЕЧИЯ, ОБРАЗОВАННЫЕ ОТ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ НАЗВАНИЙ

Имена прилагательные, обозначающие индивидуальную принадлежность, пишутся с прописной буквы, если они образованы от собственных имен лиц, животных, мифологических существ и др. при помощи суффикса -oв(-ев) или -ин. Например: Рафаэлева мадонна, Зевсов гнев, Одиссеевы странствия, Надины куклы, Муркины котята.

Имена прилагательные, обозначающие принадлежность и образованные от собственных имен лиц, пишутся со строчной буквы, если они имеют в своем составе суффикс -ск-. Например: некрасовское "Кому на Руси жить хорошо", тургеневская усадьба, пришвинская проза.

С прописной буквы пишутся имена прилагательные на -ский, входящие в состав названии, имеющих значение "имени такого-то", "памяти такого-то", например: Ломоносовские чтения, Нобелевская премия, Булгаковская конференция.

То же в сочетаниях, имеющих значение собственного имени, например: Габсбургская династия (ср.: династия Габсбургов), Пьемонтский двор (образовано от географического названия), Вахтанговский театр, Строгановское училище.

Со строчной буквы пишутся имена прилагательные, образованные от имен собственных, но не обозначающие принадлежности в прямом смысле слова, например: пушкинский стиль (т. е. стиль, как у Пушкина), толстовские взгляды на жизнь. Ср. фразеологические обороты: антонов огонь, ариаднина нить, ахиллесова пята, геркулесовы столбы, прокрустово ложе, сизифов труд, эзоповский язык и т. п.

Наречия, образованные от собственных имен лиц, пишутся со строчной буквы, например: по-суворовски, по-щедрински.

Кустанай - с большой, а "в кустанайской городской больнице" - с маленькой.

Имя собственное - с большой.

Кустанай это где то в Казахстане, так что поди с большой?

Это город-значит с большой!!!

Кустанай это город. Поэтому пишите с большой буквы.