Как склонять фамилию Озолиньш? Как правильно - семья Озолиньшей или Озолиней?

В единственном числе склонение фамилии зависит от пола человека, который её носит: лица женского пола фамилию не склоняют, лица мужского пола склоняю:

И. Эмма Озолиньш; Сандис Озолиньш
Р. Эммы Озолиньш; Сандиса Озолиньша
Д. Эмме Озолиньш; Сандису Озолиньшу
В. Эмму Озолиньш; Сандиса Озолиньша
Т. Эммой Озолиньш; Сандисом Озолиньшем
П. об Эмме Озолиньш; о Сандисе Озолиньше

Во множественном числе эта фамилия склоняется, если относится к лицам мужского пола:

И. Эдгар и Сандис Озолиньши; отец и сын Озолиньши
Р. Эдгара и Сандиса Озолиньшей; отца и сына Озолиньшей
Д. Эдгару и Сандису Озолиньшам; отцу и сыну Озолиньшам
В. Эдгара и Сандиса Озолиньшей; отца и сына Озолиньшей
Т. Эдгаром и Сандисом Озолиньшами; отцом и сыном Озолиньшами
П. об Эдгаре и Сандисе Озолиньшах; отце и сыне Озолиньшах

Но в сочетании со словом БРАТЬЯ фамилию предпочтительнее не склонять, хотя и склоняемый вариант ошибочным не будет:

И. братья Озолиньш (Озолиньши)
Р. братьев Озолиньш (Озолиньшей)
Д. братьям Озолиньш (Озолиньшам)
В. братьев Озолиньш (Озолиньшей)
Т. братьями Озолиньш (Озолиньшами)
П. о братьях Озолиньш (Озолиньшах)

Не склоняем фамилию во множественном числе, если речь идёт о двух дамах:

И. Эмма и Анна Озолиньш; сёстры Озолиньш; мать и дочь Озолиньш
Р. Эммы и Анна Озолиньш; сестёр Озолиньш; матери и дочери Озолиньш
Д. Эмме и Анна Озолиньш; сестрам Озолиньш; матери и дочери Озолиньш
В. Эмму и Анна Озолиньш; сестёр Озолиньш; мать и дочь Озолиньш
Т. Эммой и Анна Озолиньш; сестрами Озолиньш; матерью и дочерью Озолиньш
П. об Эмме и Анна Озолиньш; о сестрах Озолиньш; матери и дочери Озолиньш

Не склоняем во множественном числе эту фамилию и в том случае, когда речь идёт о лицах разного пола, а также в сочетании со словом СЕМЬЯ:

И. Эмма и Сандис Озолиньш; супруги Озолиньш; семья Озолиньш
Р. Эммы и Сандиса Озолиньш; супругов Озолиньш; семьи Озолиньш
Д. Эмме и Сандису Озолиньш; супругам Озолиньш; семье Озолиньш
В. Эмму и Сандиса Озолиньш; супругов Озолиньш; семью Озолиньш
Т. Эммой и Сандисом Озолиньш; супругами Озолиньш; семьёй Озолиньш
П. об Эмме и Сандисе Озолиньш; о супругах Озолиньш; о семье Озолиньш

Подробнее материал о склонении подобных фамилий смотрите в СПРАВОЧНИКЕ ПО
ПРАВОПИСАНИЮ, ПРОИЗНОШЕНИЮ, ЛИТЕРАТУРНОМУ РЕДАКТИРОВАНИЮ Розенталя Д.Э., Джанджаковой Е.В., Кабановой Н.П.( §150, пункт 10)

Так что правильно СЕМЬЯ ОЗОЛИНЬШ. Буква Ш входит в основу, поэтому во всех формах должна быть.

Также правильным будет СЕМЬЯ ОЗОЛИНЬ, был у Александра и Карлиса ОЗОЛИНЕЙ, но это уже ДРУГАЯ ФАМИЛИЯ, в ней нет буквы Ш.

Эта фамилия склоняется только у мужчин. Кто, нет кого, дам кому, вижу кого, горжусь кем, думаю о ком?

Эта фамилия не склоняется.