Как применить комплексное число на практике? Какую задачу можно решить с помощью комплексных чисел?

Рассмотрим электрическую цепь, в которой протекают синусоидальные токи i(t), вызываемые источниками синусоидальных ЭДС e(t). Уравнения, описывающие цепь, будут выглядеть так:
∑ik(t)=0 - 1 закон Кирхгофа
∑Rk*ik(t)+Lk*d/dt[ik(t)]+1/C*∫ik(t)dt=∑ek(t) - 2 закон Кирхгофа
или распишем: ∑Imk*sin(ωt+φk)=0
∑Rk*Imk*sin(ωt+φk)+ωLk*Imk*cos(ωt+φk)-1/(ωCk)*Imk*cos(ωt+φk)=∑Emk*cos(ωt+ψk)
Получили систему уравнений, в которых неизвестными являются Imk и φk - амплитуды и фазы токов. Выразить их удается лишь для случаев простейшей цепи, тогда как на практике в электротехнике требуется иметь способ анализа любых цепей. А тут - неизвестные - константы, но запиханы внутрь функций. Но применим представление синусоид вращающимися векторами. Тогда математически такой вектор опишется как Imk*e^j(ωt+φk) на комплексной плоскости (j^2=-1, в электротехнике используют j вместо i, чтоб не путать с токами), а при дифференцировании она не превратится в косинус, а останется экспонентой: d/dt[ik(t)]=jω*Imk*e^j(ωt+φk), только умножится на jω, а вместо интегрирования достаточно поделить ее на jω. Подставим в страшные уравнения - и вуаля - имеем обычную систему алгебраических уравнений, экспонента e^jωt - сократилась и остались только комплексные величины токов и ЭДС:
∑Imk*e^φk=0
∑(Rk+j(wL-1/(wC)))*Imk*e^φk=∑Emk*e^ψk
Или:
∑Ik=0
∑zk*Ik=∑Ek - все стало компактно, только числа в уравнениях - комплексные. Чтобы это явно показать, над токами, напряжениями и ЭДС ставят точку в знак того, что это комплексное число, изображающее вращающийся вектор, а z (комплексное сопротивление) - подчеркивают, как и y=1/z (комплексная проводимость), тем самым показывая, что это комплексный параметр.
В электротехнике без комплексных чисел никак! В техникумах обходятся, но сложнее RLC цепи из одной ветви или параллельных RLC не рассмотришь, и приходится формулы всякие зубрить. А тут - все методы цепей постоянного тока работают и зубрить ничего не надо.

сдвиг по фазе определить,
коэффициент усиления

корень из отрицательного числа

корень из -1 = i

ведь i ^ 2 = -1

корень из -4 = 2i