Очередная задача для любителей математики. / Снова 13-е число :-) /

Ну ответ на поставленный тут вопрос очевиден- их одинаковое количество. Легко составляется функция из "попарно различных"(далее А) в "нечётные"(далее В) и наоборот:
Для примера возьмём произвольное разбиение А (2009):
34 + 76 + 95 + 78 + 431 + 433 + 862
Теперь каждое слагаемое представим в виде степени двойки и нечётного числа (если так представить не получается, значит степень двойки можно ещё увеличить, по-моему это ежу понятно) :
2^1*17 + 2^2*19 + 2^0*95 + 2^1*39 + 2^0*431 + 2^0*433 + 2^1*431
Получили представление каждого слагаемого в виде 2^x*a, где а-нечётное. Далее распишем каждый такой член в виде суммы из 2^x слагаемых равных a=):
17 + 17 + 19 + 19 + 19 + 19 + 95 + 39 + 39 + 431 + 433 + 431 + 431
Функцию из A в B получили, значит разбиений вида A не больше, чем B. Теперь состряпаем обратную функцию:
Теперь берём произвольное разбиение вида B:
1 + 1 + 1 + 1 + 3 + 5 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 19 + 1943
Теперь соберём все одинаковые слагаемые вместе и разобьём на N различных слагаемых, где N- это количество ненулевых разрядов в двоичном представлении количества одинаковых членов. В данном случае:
1+1+1+1 | 4 = 100-> 1
3 | 1=1->1
5 | 1=1->1
7 + 7 + 7 + 7 + 7 | 5=101->2
19 | 1=1->1
1943 | 1=1->1
Итого:
(2^4)+3+5+(2^5+2^1+2^0)+19+1943
Вот и всё... блин, кажется так просто, а писанины на пол часа.
И вот ещё что я нарыл, пока пытался найти число этих разбиений:
В мат. пакете "Mathematica"(на правах рекламы :) ) есть такая функция PartitionsQ(x), которая и возвращает искомое число. Там есть даже явные формулы, но выглядят они ужасно :).