Целые числа. Задача.

6-значное число, начинающееся с цифры 3 можно представить в виде
(3,М) *10^5 (М -строка из пяти цифр)
После приписок
(3,Т) *10^(5+р) (Т -строка из 5+р цифр)
Все приписанные числа располагаются в "диапазоне"
от 3,(М и (р нулей) ) до 3,(М и (р девяток) )
ширина диапазона 10^р
корень кубичный из (3,Т) *10^(5+р) не превосходит 2*10^((5+р) /3)
возмем максимальный куб не превосходящий (3,Т) *10^(5+р) .
Расстояние до следующего куба не превосходит
3*(2*10^((5+р) /3))^2 +3*(2*10^((5+р) /3))+1
чтобы следующий куб попал в "диапазон" нужно чтобы

0,7+ 2*(5+р) /3 < p или 12,1<р
р=13 подходит.
Из этого однако не следует, что, например, р-12 не подходит.
для р меньше 13 надо либо провести более тщательные оценки, либо просто привести пример хотя бы для одного числа когда следуюший куб перескакивает при всех р меньше 12.
взять 3,99999 - "следующий" куб начинается с 3,4...

Вопрос неявно состоит из 2-х частей:
1. Почему при 13 можно
2. Почему при меньше 13 может быть не можно

.

Возведем шестизначное число, начинающиеся на тройку, в куб.
Получим 17-значное число.
Значит, необходимо минимум 11 знаков дописать (чтобы обеспечить куб любого числа)

по рассуждениям выше, p=12 не подходит.
Из этого же ответа доказано (не уверен, что полностью четко) , что p=13 подходит.
Таким образом, p=13 -это минимальное данное число p


Я неверно прочитал формулировку данной задачи.. . доказательство неверное.

если появится решение или некоторые мысли - напишу в комментариях
Спасибо за интересную задачу.. .