что такое log в математике и для чего он нужен

Что проще - сложение и вычитание, или умножение и деление? Конечно - сложение и вычитание, особенно сильна разница при делении/вычитании. Логарифм позволяет вместо умножения/деления использовать сложение/вычитание. Рассмотрим пример. 10000000 разделим на 1000. Это просто, результат 10000 - но как мы его получили так просто? Мы на самом деле не делили, а вычитали. 10000000=10^7, 1000=10^3. 10000000/1000=10^7/10^3=10^(7-3)=10^4. Но можно ли так же просто умножать/делить произвольные числа? Можно, если составить для них показатели степени, в которую нужно возвести, например, десятку (это и будет "таблица логарифмов"). Тогда вместо умножения/деления можно просто сложить/вычесть логарифмы двух чисел, а потом найти "антилогарифм" - это и будет результат. Кроме 10-ки в качестве основания логарифма применяют также число е - это единица плюс бесконечно малое в степени бесконечно много. Такое число с точки зрения математики наиболее хорошо нормировано.
С появлением электронно-вычислительных машин роль логарифмов как облегчителя вычислений сошла на нет, но он постоянно вылазит в матанализе - в качестве первообразных от многих функций, но только по основанию е. Ещё - в ядерной физике и двоичной математике используют логарифм по основанию 2.

Основные свойства логарифма позволяют заменить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня более простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления

Это бревно, служит для постройки зданий.

Это логарифм. Не помню подробнее для чего он нужен. На уроках вам должны рассказать