Решить задачу Коши

t = y'
t'' + t = 0
t = A sin x + B cos x
y = - A cos x + B sin x + C

Если вам непонятно через характеристические корни, то есть, конечно, другой способ, но он вам не понравится.
y''' + y' = 0
Замены:
y'(x) = t(x)
y''(x) = F(t(x))
y''' = dF/dx = (dF/dt) (dF/dx) = F'(t) F(t)
Подставляем в уравнение:
F F' + t = 0
Разделяем переменные:
F dF = - t dt
Интегрируем:
(1/2) F^2 = (1/2) (A^2 - t^2)
Выражаем F:
F = (+/-) sqrt(A^2 - t^2)
Возвращаемся на одну замену назад:
F = dt/dx
Тогда уравнение примет вид:
dt/dx = (+/-) sqrt(A^2 - t^2)
Переменные в разные стороны:
dt / sqrt(A^2 - t^2) = (+/-) dx
Интегрируем:
arcsin(t / A) = B (+/-) x
Выражаем t:
t = A sin(B (+/-) x)
Или:
t = A sin(B) cos(x) (+/-) A cos(B) sin(x)
Пользуемся неопределенностью констант A и B, переходим к новым константам:
C1 = A sin(B)
C2 = (+/-) A cos(B)
Получаем:
t = C1 cos(x) + C2 sin(x)
Возвращаемся еще на замену назад:
y' = C1 cos(x) + C2 sin(x)
Интегрируем:
y = C1 sin(x) - C2 cos(x) + C3
Вспоминаем про начальные условия, записываем все три сразу:
- С2 + С3 = 0
С1 = 0
С2 = - 9
От сюда получаем:
C1 = 0
C2 = - 9
C3 = - 9
И решение задачи:
y(x) = 9 (cos(x) - 1)