Помогите, пожалуйста, решить задачу по дифференциальным уравнениям

Пусть y(x) - точное решение вашей задачи Коши, z(x) - ршение вашей задачи Коши с другим начальным условием. Устойчивость решения y(x) по Ляпунову означает:
∀ ε > 0 ∃ δ(ε) > 0: |z(0) + 2| < δ, ∀ x > 0 ⇒ |z(x) - y(x)| < ε
Задачка Коши у нас такая:
y'(x) + 2 y(x) = sin(x), y(0) = - 2;
Решение ее, очевидно, такое:
y(x) = [2 sin(x) - cos(x) - 9 exp(-2 x)] / 5
Теперь "испортим" начальное условие на величину ξ:
z'(x) + 2 z(x) = sin(x), z(0) = - 2 + ξ;
Теперь решение задачи такое:
z(x) = [2 sin(x) - cos(x) - 9 exp(-2 x)] / 5 + ξ exp(-2 x)
Разность исходного решения и испорченного:
z(x) - y(x) = ξ exp(-2 x)
При x > 0:
|z(x) - y(x)| = |ξ| exp(-2 x) < |ξ|
Хотим, чтобы при x > 0:
|z(x) - y(x)| < ε
Выходит, мы жаждем неравенства:
|ξ| < ε
Выходит, мы можем взять:
δ = ε
Для любого ε мы указали δ, при котором будут выполнены условия устойчивости.
Значит доказали устойчивость.

Найдём сначала общее решение однородного уравнения:
dy/dx + 2y = 0
dy = -2y dx
∫ (1/y) dy = -2 ∫ dx
ln|y| = -2x + c
y = C•exp(-2x), C∈ℝ.
Варьируя постоянную, найдём общее решение неоднородного уравнения:
y' = C'•exp(-2x) - 2C•exp(-2x)
y' + 2y = C'•exp(-2x) = sin(x)
C = ∫sin(x)exp(2x)dx
y = exp(-2x)•∫sin(x)exp(2x)dx.
Решим задачу Коши:
y(x) = -2 + exp(-2x)•∫[0;x]sin(t)exp(2t)dt
∫sin(x)exp(2x)dx=⅕•(2sin(x)-cos(x))•exp(2x)-1,8.
Остаётся только выяснить устойчиво ли это решение по Ляпунову...

Короче: Флаттершай будет беременна от Рейнбоу Дэн, а Пинки Пай сдохнет.